課程內(nèi)容

《用尺規(guī)作三角形》
求助
豆豆書上的三角形被墨跡污染了一部分，他想在作業(yè)本上畫出一個(gè)與書上完全一樣的三角形，他該怎么辦？
你能幫他畫出來(lái)嗎？
回眸
三角形的基本元素是邊和角。
你會(huì)用尺規(guī)作一條線段等于已知線段嗎？
自己動(dòng)手試一試！
你會(huì)用尺規(guī)作一個(gè)角等于已知角嗎？
回顧&思考
1、作一條線段等于已知線段
利用沒(méi)有刻度的直尺和圓規(guī)作一條線段等于已知線段。
已知：線段AB。
求作：線段A'B'，使A'B'=AB。
作法：
（1）作射線A'C'；
（2）以點(diǎn)A'為圓心，以AB的長(zhǎng)為半徑畫弧，交射線A'C'于點(diǎn)B'。
A'B'就是所求作的線段。
2、“作一個(gè)角等于已知角”
已知：∠AOB。
求作：∠A'O'B'使翻∠A'O'B'=∠AOB。
作法：
（1）作射線O'A'；
（2）以點(diǎn)O為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫弧，交OA于點(diǎn)C，交OB于點(diǎn)D；
（3）以點(diǎn)O'為圓心，同樣（CO）長(zhǎng)為半徑畫弧，交O'A'于點(diǎn)C'；
（4）以點(diǎn)C'為圓心，CD長(zhǎng)為半徑畫弧，交前面的弧于點(diǎn)D'；
（5）過(guò)點(diǎn)D'作射線O'B'。
∠A'O'B'就是所求的角。
探索
你能利用尺規(guī)作一個(gè)三角形與已知三角形全等嗎？
探索出真知
1、已知三角形的兩角及其夾邊，求作這個(gè)三角形。
已知：∠α，∠β，線段c。
求作：△ABC，使∠A=∠α，∠B=∠β，AB=c。
你能作出這個(gè)三角形嗎？
對(duì)于邊和角，你想先作角，再作邊，最后作角。
作法：
（1）作∠DAF=∠α；
（2）在射線AF上截取線段AB=c；
（3）以B為頂點(diǎn)，以BA為一邊，作∠ABE=∠β，BE交AD于點(diǎn)C。
△ABC就是所求作的三角形。
你所作的三角形與同伴所作的三角形比較，它們?nèi)葐?？為什么?br> 還有沒(méi)有其他的作法？
對(duì)于邊和角，你想先作邊，再作角，最后作角。
請(qǐng)按照給出的作法作出圖形。
作法：
（1）作線段AB=c；
（2）以A為頂點(diǎn)，以AB為一邊，作∠DAB=∠α；
（3）以B為頂點(diǎn)，以BA為一邊，作∠ABE=∠β，BE交AD于點(diǎn)C。
△ABC就是所求作的三角形。
你現(xiàn)在能幫助豆豆畫出三角形了嗎？
2、已知三角形的兩邊及夾角，求作這個(gè)三角形。
已知：線段a，c，∠α。
求作：△ABC，使BC=a，AB=c，∠ABC=∠α。
對(duì)于邊和角，你想先作邊，再作角，最后作邊。
請(qǐng)按照給出的作法作出圖形。
作法：
（1）作一條線段BC=a；
（2）以B為頂點(diǎn)，以BC為一邊，作角∠DBC=∠α；
（3）在射線BD上截取線段BA=c；
（4）連接AC。
△ABC就是所求作的三角形。
你所作的三角形與同伴所作的三角形比較，它們?nèi)葐?？為什么?br> 還有沒(méi)有其他的作法？
對(duì)于邊和角，你想先作角，再作邊，最后作邊。
嘗試自己作圖，并用語(yǔ)言表述作法。
作法：
（1）作∠OBE=∠α；
（2）在射線BD、BE上分別截取BA=c，BC=a；
（3）連接AC。
△ABC就是所求作的三角形。
你知道的常用作圖語(yǔ)言有哪些呢？
（1）作∠……=∠……
（2）在……上截取，使……=……
（3）以……為頂點(diǎn)，以……為一邊，作∠……=∠……
（4）作一條線段……=……
（5）連接……，或連接……交……于點(diǎn)……
（6）分別以…、…為圓心，以…、…畫弧，兩弧交于……點(diǎn)
3、已知三角形的三條邊，求作這個(gè)三角形。
已知：線段a，b，c。
求作：△ABC，使AB=c，AC=b，BC=a。
嘗試自己分析并作出這個(gè)三角形，寫出作法。
作法：
（1）作一條線段BC=a；
（2）分別以B，C為圓心，以c，b為半徑畫弧，兩弧交于A點(diǎn)；
（3）連接AB，AC。
△ABC就是所求作的三角形。
你所作的三角形與同伴所作的三角形比較，它們?nèi)葐幔繛槭裁矗?br> 經(jīng)過(guò)前面的實(shí)踐，我們?nèi)绾蝸?lái)分析作圖題昵？
1、假設(shè)所求作的圖形已經(jīng)作出，并在草稿紙上作出草圖；
2、在草圖上標(biāo)出已給的邊、角的對(duì)應(yīng)位置；
3、從草圖中首先找出基本圖形，由此確定作圖的起始步驟；
4、在3的基礎(chǔ)上逐步向所求圖形擴(kuò)展。
我們一起做！
1、已知∠α和∠β、線段a，用尺規(guī)作一個(gè)三角形，使其一個(gè)內(nèi)角等于∠α，另一個(gè)內(nèi)角等于∠β，且∠α的對(duì)邊等于a。
提示：先作出一個(gè)角等于∠α+∠β，通過(guò)反向延長(zhǎng)角的一邊得到它的補(bǔ)角，即三角形中的第三個(gè)內(nèi)角∠γ。由此轉(zhuǎn)換成已知∠β和∠γ及其這兩角的夾邊a，求作這個(gè)三角形。
你所作的三角形與同伴所作的三角形比較，它們?nèi)葐?？為什么?br> 作法：1、作∠α+∠β的補(bǔ)角∠γ
      2、作∠GBE=∠β
      3、在射線BE上截取BC=a
      4、以C為頂點(diǎn)，CB為一邊作∠FCB=∠γ
      5、射線BG與射線CF相交于點(diǎn)A
△ABC就是所求作的三角形。
拓展提高
已知線段a，b和∠α，求作△ABC，使其有一個(gè)內(nèi)角等于∠α，且∠α的對(duì)邊等于a，另有一邊等于b。
分析：先在草紙上畫出一個(gè)假設(shè)的“已作出的三角形”；然后在草圖上標(biāo)出已給的邊、角的對(duì)應(yīng)位置；再找出邊與角，確定作圖的順序。
作法：
1、作∠MAN=∠α
2、在射線AM上截取AB=b
3、以B為圓心，以a為半徑畫弧，交AN于點(diǎn)C，C'
4、連接BC，BC'
△ABC和△ABC'就是所求作的三角形。
同樣是已知兩邊及一角，為什么會(huì)出現(xiàn)兩個(gè)三角形呢？你從中可以感悟到什么？
感悟：已知三角形的兩邊及一角并不都能只確定一個(gè)三角形。當(dāng)已知兩邊及夾角時(shí)可以確定一個(gè)三角形，因此可以用來(lái)判定兩個(gè)三角形全等；而當(dāng)已知兩邊及—邊的對(duì)角時(shí)，會(huì)畫出兩個(gè)不同的三角形，因此不能用來(lái)作為判別兩個(gè)三角形全等的條件。
小結(jié)
★學(xué)會(huì)了用尺規(guī)做三角形的方法
★學(xué)會(huì)了已知兩邊及它們的夾角做三角形的方法
★學(xué)會(huì)了已知兩角及它們的夾邊做三角形的方法
★學(xué)會(huì)了已知三邊做三角形的方法
★學(xué)會(huì)了已知兩角及一邊做三角形的方法