課程內容

《分析法 綜合法》
（1）綜合法
在不等式的證明中，我們經常從已知條件和不等式的性質，基本不等式出發(fā)，通過邏輯護理，推導出所要證明的結論。這種從已知條件，利用定義、公理、定理、性質等，經過一系列的護理，論證而得出命題成立的證明方法叫做綜合法，又叫順推證法或由因導果法。
例如：已知a，b，c∈R，證明：a²+b²+c²≥ab+bc+ca
用綜合法證明不等式的邏輯關系
A=>B₁=>B²=>…=>Bⁿ=>B
（已知）（逐步推演不等式成立的必要條件）（結論）
例1 已知a，b，c﹥0，且不全相等，
求證：a（b²+c²）+b（c²+a²）+c（a²+b²）﹥6abc
例2 已知a¹，a²，…，aⁿ ∈R+，且a¹a²…aⁿ=1，
求證：（a+a¹）(1+a²)…（a+aⁿ）≥2ⁿ
利用綜合法證明不等式時，應注意對已證明不等式使用，常用的不等式有：
（1）a²≥0；
（2）∣a∣≥0；
（3）a²+b²≥0=2ab；它的變形式又有（a+b）²≥4ab；（a²+b²）/2≥{（a+b）/2}²
（4）（a+b）/2≥√ab；它的變形形式又有a/b+b/a≥2（ab﹥0）；a/b+b/a≤-2（ab＜0）
（2）分析法
從要證的結論出盡，逐步尋求使它成立的充分條件，直至所需條件已知或一個明顯成立的事實（定義、公理或已證的定理、性質等），從而得出要證的命題成立，這種證明方法叫做分析法，這是一種執(zhí)果索因的思考和證明方法。
例如：證明：（a²+b²）/2≥{（a+b）/2}²
用分析法證明不等式的邏輯關系
A<=B1<=B2<=…<=Bn<=A
（已知）（步步尋求不等式成立的充分條件）（結論）
例3 求證√2+√7＜√3+√6
例4 已知a，b，c﹥0，求證（a²b²+b²c²+c²a²）/（a+b+c）≥abc
練習：
1.a，b，c，∈R₊，證明：（ab+a+b+1）（ab+ac+bc+c²）≥16abc
2.a，b，c，∈R₊，證明：2（a³+b³+c³）≥a²（b+c）+b²（a+c）+c²（a+b）
3.已知m，n∈R₊，求證：（m+n）/2≥^m+n√mⁿn^m，
4.已知0＜x＜1，a﹥0且a≠1，
試比較∣log_a（1-x）∣與∣log_a（a+x）∣的大小，并說明理由。