課程內(nèi)容

《不等式》
類比基本不等式的形式，猜想對于3個正數(shù)a，b，c，可能有a，b，c∈R+，那么（a+b+c）/3≥ ³√abc，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時，等號成立。
證明：若a，b，c∈R+，則，a³+b³+c³≥3abc,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時，等號成立。
和的立方公式：
（x+y）³=x³+3x²y+3xy²+y³
立方和公式：
x³+y³=（x+y）（x²-xy+y²）
定理 如果a，b，c∈R+，那么（a+b+c）/3≥³√abc當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時，等號成立。
（1）若三個正數(shù)積是一個常數(shù)，那么當(dāng)僅當(dāng)這三個正數(shù)相等時，它們的和有最小值。
（2）若三個正數(shù)的和是一個常數(shù)，那么當(dāng)僅當(dāng)這三個正數(shù)相等時，它們的積有最大值。
n個正數(shù)的算術(shù)——幾何平均不等式：
若a₁，a₂，a₃，…，a_n∈R+，則
（a₁+a₂+a₃+…+a_n）/n≥ⁿ√a₁，a₂，a₃，…，a_n,
當(dāng)且僅當(dāng)a₁=a₂=a₃=…=a_n,時，等號成立。
例1 求函數(shù)y=2x2+3/x（x﹥0）的最小值。下面解法是否正確？為什么？
解法1：由x﹥0知2x²﹥0，3/x﹥0，則
y=2x2+3/x≥2√2x².3/x=2√6x
當(dāng)且僅當(dāng)2x²=3/x=3/x即x=³√3/2時，y_min=2√（6 ³√3/2）=2 ³√18
解法2：由x﹥0知2x2﹥0，1/x﹥0，2/x﹥0，則
y=2x²+3/x=2x²+1/x+2/x≥3 ³√（2x².1/x.2/x）=3 ³√4
ymin=3 ³√4
解法3：由x﹥0知2x²﹥0，3/2x﹥0，則
y=2x²+3/x=2x²+3/2x+3/2x≥3 ³√（2x².3/2x.3/2x）=3 ³√9/2
當(dāng)且僅當(dāng)2x²=3/2x即x=3 ³√3/4時
y_min=3 ³√9/2=3/2 ³√36
變式
1函數(shù)y=3x+12/x²（x﹥0）的最小值是（ C ）
A、6  B、⁶√6   C、9   D、12
2、函數(shù)y=4x²+16/（x²+1）2的最小值是  8  
例2 如下圖，把一塊連長是a的正方形鐵片的和解切去大小相同的小正方形，再把它的邊沿著虛線折成一個無蓋方底的盒子，問切去的正方形連長是多少時，才能使盒子的容積最大？
練習(xí)
1、函數(shù)y=x⁴（2-x²）（0＜x＜√2）的最大值是（D）
A、0   B、1  C、16/27  D、32/27
2、若a，b∈R⁺,且a﹥b,則a+1/（a-b）b≥     
小結(jié)：
這節(jié)課我們討論了利用平均值定理求某些函數(shù)的最值的問題?，F(xiàn)在，我們又多了一種求正變量在定積或定和條件下的函數(shù)最值的方法。
這是平均值定理的一個重要應(yīng)用也是本章的重點內(nèi)容，應(yīng)用定理時需注意“一正二定三相等”這三個條件缺一不可，不可直接利用定理時，要善于轉(zhuǎn)化，這里關(guān)鍵是掌握好轉(zhuǎn)化的條件，通過運用有關(guān)變形的具體方法，以達(dá)到歸化的目的。