課程內(nèi)容

《與圓有關(guān)的比例線段》
前面我們討論了與圓有關(guān)的角之間的關(guān)系，自然的我們可以討論與圓有關(guān)的線段的關(guān)系及其度量問題下面沿用從特殊到一般的思路，討論與圓的相交弦有關(guān)的問題。
探究  如圖2-20，AB是圓O的直徑CD⊥AB，AB與CD相交于P，線段PA、PB、PC、PD之間有什么關(guān)系？
連接AD、BC，則由圓周角定理的推論可得：∠A=∠C。故Rt△APD～Rt△CPB。則PA/PD=PC/PB。則PA.PB=PC.PD。
以上通過考察相交弦交角變化中有關(guān)線段的關(guān)系，得出相交弦定理，下面從新的角度考察與圓有關(guān)的比例線段。
探究 使圓的兩條相交弦的交點(diǎn)P從圓內(nèi)運(yùn)動到圓上（圖2-23）。再到圓外（2-24）結(jié)論（1）是否還能成立？
當(dāng)點(diǎn)P在圓上時，PA=PB=0，所以PA.PB=PC.PD仍成立，當(dāng)點(diǎn)P在圓外時，在圖2-24中，連接AD、BC，容易證明△PAD～△PCB，所以PA/PC=PD/PB，即PA.PB=PC.PD。（1）
根據(jù)上述探究和論證，我們有割線定理 從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長的積相等。
下面繼續(xù)用運(yùn)動變化思想探究
探究 在圖2-24中，使割線PB繞P點(diǎn)運(yùn)動到切線位置（圖2-25），是否還有PA.PB=PC.PD？
連接AC、AD，同樣可以證明△PAC～△PDA（請同學(xué)們自己證明），因而（1）式仍然成立。在這種情況下，A、B兩點(diǎn)重合，PA.PB=PC.PD，變形為：PA²=PC.PD。（2）
由上述探究和論證，我們有
切割線定理 從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長是這點(diǎn)割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長的比例中項(xiàng)。
設(shè)點(diǎn)P為圓外一點(diǎn)，過P的圓的切線的切點(diǎn)為A，稱PA為P點(diǎn)到圓的切線長。
結(jié)合切線的性質(zhì)定理，我們有
切線長定理 從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角。
證明：如圖2-27，連接OA、OC，則OA=OC，OP=OP，所以Rt△OAP≌Rt△OCP。故PA=PC，∠APO=∠CPO。
思考 由切割線定理能證明切線長定理嗎？在圖2-26中，由P向圓任作一條割線試一試，另外你能將切線長定理推廣到空間的情形嗎？
例2 如圖2-29，E是圓內(nèi)兩弦AB和CD的交點(diǎn)，直線EF∥CB，交AD的延長線于F、FG切圓于G，求證：（1）△DFE～△EFA；（2）EF=FG。
證明（1）因?yàn)镋F∥CB，
所以∠DEF=∠DCB。
因?yàn)椤螪CB和∠DAB都是弧DB上的圓周角，
所以∠DAB=∠DCB=DEF。
又∠DFE=∠EFA，故△DFE～△EFA。
（2）由（1）知△DFE～△EFA，
所以EF/AF=FD/EF，即
EF2=FA.FD。
因?yàn)镕G是圓的切線，
所以FG²=FA.FD，
故FG2=EF2，即FG=EF。