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《圓的切線性質(zhì)與判定定理》
我們知道，直線與圓有相交、相切和相離三種位置關(guān)系，這是從直線與圓的公共點個數(shù)刻畫的，直線與圓有兩個公共點，稱直線與圓相交；直線與圓只有一個公共點，稱直線與圓相切；直線與圓沒有公共點，稱直線與圓相離。
本節(jié)專門討論直線與圓相切的情形。我們先看當(dāng)直線與圓相切時有什么性質(zhì)。
如圖2-11，直線L是圓O的切線，A為切點的觀察、測量圖形可發(fā)現(xiàn)L⊥OA，那么L與半徑OA是否一定垂直呢？
假設(shè)L與OA不垂直，那么過點O可作OM⊥L，垂足為M，根據(jù)“垂線段最短”性質(zhì)，可得OA﹥OM，這就是說圓心到直線L的距離小于圓的半徑，于是L就應(yīng)該與圓O相交，這與L是圓O的切線相矛盾，因此，L與OA一定垂直。
切線的性質(zhì)定理 圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑。
因為經(jīng)過一點只有一條直線與已知直線垂直，所以經(jīng)過圓心垂直于切線的直線一定過切點；反之，過切點且垂直于切線的直線一定經(jīng)過圓心，由此得到：
推理1 經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點。
推理2 經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心。
下面通過考察性質(zhì)定理的逆命題來得到判定定理。
如圖2-11，點A是圓O與直線L的公共點且L⊥OA，在直線L上任取異于點A的點，都有OB﹥OA，這是因為△OBA是直角三角形，而OB是RT△OBA的斜邊，因此，點B在圓外，由點B的任意性，知圓與直線只有一個公共點，因此L的切線，由此可得
切線的判定定理 經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓切線。
例1 如圖2-12，AB是圓O的直徑，圓過BC中點D，DE⊥AC。求證：DE是圓O的切線。
證明 連接OD。因為BD=CD，OA=OB，所以O(shè)D是△ABC的中位線，則OD∥AC，又因為∠DEC=90°，
所以∠ODE=90°，又因為D在圓周上，所以DE是圓O的切線。
例2 如圖2-13，AB為圓O的直徑，C為圓O上的一點，AD和過C點的切線互相垂直垂足為D。求證：AC平分∠DAB。
證明 連結(jié)OC，因為CD是圓的切線，所以O(shè)C⊥CD。
又因為AD⊥CD，所以O(shè)C∥AD，由此得∠ACO=∠CAD。
因為OC=OA，所以∠CAO=∠ACO。
則∠CAD=∠CAO，故AC平分∠DAB。
思考 圓的切線性質(zhì)定理用它的兩個推論，涉及一條直線的三條性質(zhì)；（1）經(jīng)過圓心；（2）經(jīng)過切點；（3）垂直于切線，你能把圓的切線性質(zhì)及它的兩個推論概括在同一個定理中嗎？