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《圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與判定定理》
在討論了圓內(nèi)的角以后，我們來討論與圓相關(guān)的多邊形。
如果多邊形的標(biāo)點都在一個圓上，那么這個多邊形叫做圓內(nèi)接多邊形，這個圓叫做多邊形的外接收圓。
思考 我們知道，任意三角形都有外接圓那么任意正方形有外接圓嗎？為什么？任意矩形是否有外接圓？一般地，任意四邊形都有外接圓嗎？
我們從問題的反而入手：如果一個四邊形內(nèi)接于圓，那么這樣的四邊形有什么特征？
探究 觀察圖2-5，這組圖中的四邊形都內(nèi)接于圓，你能從中發(fā)現(xiàn)這些四邊形的共同特征嗎？
一般地，我們可以從四邊形的邊的關(guān)系、角的關(guān)系等來考察這些圖形的共同特征，下面考察四個角的關(guān)系。
顯然，圓內(nèi)接四邊形的角都是圓周角，因此，為了考察這些圓周角的關(guān)系，我們可以借助圓周角定理。
如圖2-6（1），連接OA、OC。則∠B=1/2α。∠D=1/2β。
因此α+β=360°，所以∠B+∠D=1/2×360°=180°
同理得∠A+∠C=180°。
由此得圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理1：
定理1 圓的內(nèi)接四邊形的對角互補。
將圖2-6（1）中的線段AB延長到點E，得到圖2-6（2），由于∠ABC+∠EBC=180°，所以°∠EBC=∠D。
于是又得性質(zhì)定理2：
定理2 圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)角的對角。
經(jīng)過上面的討論，我們得到了圓內(nèi)接四邊形的兩條性質(zhì)一個自然的想法是，它們的逆命題成立嗎？如果成立，就可以得到四邊形存在外接圓的判定定理。
假設(shè)：四邊形ABCD中∠B+∠D=180°，
求證：A、B、C、D在同一圓周上（簡稱四點共圓）。
分析 不在同一條直線上的三點確定一個圓經(jīng)過A、B、C三點作圓O，如果能夠由條件得到圓O過點D，那么就證明了命題。
顯然，圓O與點D有且只有三種位置關(guān)系，
（1）點D在圓外；（2）點D在圓內(nèi)；（3）點D在圓上只要證明在假設(shè)條件下只有（3）成立，也就證明了命題。
證明：（1）如果點D在圓的外部（圖2-7）設(shè)E是AE與圓周的交點，連結(jié)EC，則有∠AEC+∠B=180°由題設(shè)∠B+∠D=180°可得∠D=∠AEC。這與“三角形的外角大于任一不相鄰的內(nèi)角”矛盾。故點D不可能在圓外。
（2）如果點D在圓的內(nèi)部（圖2-8）顯然，AD的延長線必與圓相交，設(shè)交點為E，連結(jié)CE，則∠B+∠E=180°。因為∠B+∠ADC=180°，所以∠E=∠ADC，同樣門生矛盾，所以點D不可能在圓內(nèi)。
綜上所述，點D只能在圓周上，即A、B、C、D四點共圓。
因此得
圓內(nèi)接四邊形判定定理：如果一個四邊形的對角互補，那么這個四邊形的四個頂點共圓。
在圓內(nèi)接四邊形判定定理中，我們用分類思想對點D與ABC三點確定的圓的位置關(guān)系進行討論，在每一種情形中都運用反證法，當(dāng)問題的結(jié)論存在多種情形時，通過對每一種情形分別論證，最后獲證結(jié)論的方法，稱為窮舉法。
推理：如果四邊形的外角等于它的內(nèi)角的對角，那么這個四邊形的四個頂點共圓。
請同學(xué)們自己寫出推論證明。
例1：如圖2-9，圓O₁與圓O₂都經(jīng)過A、B兩點經(jīng)過點A的直線CD與圓O₁交于點C，與圓O₂交于點D，經(jīng)過點B的直線EF與圓O₁交于點E，與圓O₂交于F，求證：CE∥DF
證明：連結(jié)AB。
因為四邊形ABEC是圓O1的內(nèi)接四邊形。
所以∠BAD=∠E。
又因為四邊形ADFB是圓O2的內(nèi)接四邊形。
所以∠BAD+F=180°，則∠E+∠F=180°
因此CE∥DF。
例2：如果2-10，CF是△ABC的AB邊上的高，F(xiàn)P⊥BC，EQ⊥AC,求證：A、B、P、Q四點共圓。
證明：連結(jié)PQ。
在四邊QFPC中，因為FP⊥BC，F(xiàn)Q⊥BC，
所以∠QFA=∠FPC，則Q、F、P、C四點共圓，
故∠QFC=∠QPC，又因為CF⊥AB，
所以∠QFC與∠QFA=QPC。
因此，A、B、P、Q四點共圓。