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《圓周角定理》
我們已經(jīng)掌握了圓的一些知識(shí)，知道了圓的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，學(xué)習(xí)了與圓相關(guān)的一些概念，并且也研究過(guò)圓的弦、圓心角、圓周角、切角等性質(zhì)，本講獎(jiǎng)在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步學(xué)習(xí)圓的知識(shí)，特別是要證明一些反映圓與直線關(guān)系的重要定理。
一、圓周的定理
我們知道，圓心角和圓周角是與圓相關(guān)的兩個(gè)重要的角，它們之間有沒(méi)有內(nèi)在聯(lián)系呢？
探究：在圓O中作一個(gè)頂點(diǎn)為A的周角∠BAC，連續(xù)OB、OC，得圓心角∠BOC的度數(shù)，它們之間有什么關(guān)系？改變圓周角的大小，這種關(guān)系會(huì)改變嗎？
可以發(fā)現(xiàn)，無(wú)論圓周角的大小怎樣改變，都有∠BAC=1/2∠BOC。
一般地，我們有：
圓周角定理 圓上一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半。
已知：如圖2-1，在圓O中，弧BC所對(duì)的圓周角和圓心角分別是∠BAC、∠BOC。求證：∠BAC=1/2∠BOC。
分析:從圖2-1一時(shí)難以發(fā)現(xiàn)證明思路，在圓中，圓心和直徑是兩個(gè)最重要的幾何元素，利用直徑，先考察一個(gè)特殊位置，即圓周角的一邊是直徑，如圖2-1（1），圓周角∠BAC是等腰三角形AOC的底角，圓心角∠BOC是等腰三角形AOC的外角，利用“三角形外角等于不相鄰兩內(nèi)角的和”以及等腰三角形的性質(zhì)，可以得到結(jié)論成立。
以直徑為分界線，可以得到另外兩類(lèi)圓周角及相關(guān)的圓心角，如圖2-2（2）、（3）所示，只要能鈄它們化歸為（1）的情形，問(wèn)題就解決。
證明：分三種情況討論
（1）如圖2-2（1），圓心O在∠BAC的一條邊上，因?yàn)镺A=OC。
所以∠C=∠BAC。
因?yàn)椤螧OC=∠BAC+∠C，
所以∠BAC=1/2∠BOC。
（2）如圖2-2（1），圓心O在BAC的內(nèi)部。
作直徑AD，利用（1）的結(jié)果，有∠BAD=1/2∠BOD，
∠DAC=1/2∠BOC。
所以∠BAD+∠DAC=1/2（∠BOD+DOC）
即∠BAC=1/2∠BOC
（3）如圖2-3（3），圓心O在∠BAC的外部，作直徑AD，利用（1）的結(jié)果，有∠BAD=1/2∠BOD，∠DAC=1/2∠DOC。
則∠DAC-∠DAB=1/2（∠DOC-∠DOB），
即∠BAC=1/2∠BOC。
我們知道，一個(gè)周角是360°，把圓周角分成360份，每一份叫做1°的弧，由此，n°的圓心角所對(duì)的弧是n°的弧；反之，n°的弧所對(duì)的圓心角的度數(shù)n°，從而有：
圓心角定理：圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)弧的度數(shù)。
在同圓或等圓中，相等的弧所對(duì)的圓心角相等，因此由圓周角定理可以直接得到：
推論1 同弧或等弧所對(duì)的圓心角相等；同圓等等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧也相等。
推論2 半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角；90°的圓周角氣結(jié)的弦是直徑。
例1 如圖2-3，AD是△ABC的高，AF是△ABCr外接圓直徑，求證：AB.AC=AE.AD
證明：連接BE
因?yàn)椤螦DC=∠ABE=90°，
∠C=∠E，
所以△ADE∽△ABE，
則AC/AE=AD/AB，即AB.AC=AE.AD。
例2 如圖2-4，AB與CD將于圓內(nèi)一點(diǎn)P，求證：弧AD的度數(shù)與弧ACr度數(shù)和的一半等于∠APD的度數(shù)。
分析，由于∠APD即不是圓心角，也不是圓周角，為此我們需要構(gòu)造一個(gè)與它相等的圓心角或圓周角，以便利用定理。
證明：如圖2-4，過(guò)點(diǎn)C用CE∥AB交圓于E，則有∠APD=∠C。因?yàn)榛E=弧BC，（為什么？）
弧DAE=弧DA+弧AE=弧AD+弧DC。
又因?yàn)椤螩的度數(shù)等于弧DAE的度數(shù)的一半。
∠APD的度數(shù)等于弧AD與弧BC的度數(shù)和的一半。