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《獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想及其初步應(yīng)用》
對(duì)于性別變量，其取值為男和女兩種，這種變量的不同“值”表示個(gè)體所屬的不同類別，你這類變量稱為分類變量。在現(xiàn)實(shí)生活中，分類變量是大量存在的，例如是否吸煙，宗教信仰、國(guó)籍，等等。
在日常生活中，我們常常關(guān)心兩個(gè)分類變量之間量來(lái)有關(guān)系，例如，吸煙與肺癌與吸煙是否有關(guān)系？性別對(duì)于是否喜歡數(shù)學(xué)課程有影響？等等。
探究：為調(diào)查吸煙是否對(duì)肺癌有影響，某腫瘤研究所隨機(jī)地調(diào)查了9965人，得到如下結(jié)果（單位：人）
表1-7吸煙與患肺癌列聯(lián)表

	不患肺癌	患肺癌	總計(jì)
不吸煙	7775	42	7817
吸煙	2099	49	2148
總計(jì)	9874	91	9965

那么吸煙是否對(duì)肺癌有影響？
像表1-7這樣列出的兩個(gè)分類變量的頻數(shù)表，稱為列聯(lián)表，由吸煙情況和患肺癌情況的列聯(lián)表可以粗略估計(jì)出：在不吸煙者中，有0.54%患有肺癌；在吸煙者中，有2.28%患有肺癌，因此，直觀上可以得出結(jié)論；吸煙者和不吸煙者患肺癌可能存在差異。
與表格相比，三維柱形圖和二維條形圖能更直觀的=地反映出相關(guān)數(shù)據(jù)的總體狀況。


圖1.2-1是列聯(lián)表的三維柱形圖，從中能清晰地看出各個(gè)頻數(shù)的相對(duì)大小。
作三維柱形圖要注意選擇恰當(dāng)?shù)囊暯牵允姑總€(gè)柱體都能看到。
圖1.2-2是疊在一起的二維條形圖，其中綠色條高表示不患肺癌的人數(shù)，黒色條高表示患肺癌的人數(shù)，從圖中可以看出，吸煙者中患肺癌的比例高于不吸煙者中患肺癌的比例。
為了更清晰地表達(dá)這個(gè)特征，我們還可以用如下的等高條形圖表示兩個(gè)情況下患肺癌的比例，如圖1.2-3所示，在等高條形圖中，綠色的條高表示不患肺癌的百分比；黒色的條高表示患者肺癌的百分比。
上面我們通過(guò)分析數(shù)據(jù)和圖形，得到的直觀印象是吸煙和患肺癌有關(guān)，那么事實(shí)是否真的如此呢？或者說(shuō)我們能夠以多大的把握認(rèn)為“吸煙與患肺癌有關(guān)”呢？
為了回答上述問(wèn)題我們先假設(shè)
H_o：吸煙與患肺癌沒(méi)有關(guān)系
用A來(lái)表示不吸煙，B表示不患肺癌，則“吸煙與患肺癌沒(méi)有關(guān)系”等價(jià)于“吸煙與患肺癌獨(dú)立”即H_o等價(jià)于P=（AB）=P（A）P（B）
把表1-7中的數(shù)字用字母代替，得到如下用字母表示的列聯(lián)表

	不患肺癌	患肺癌	總計(jì)
不吸煙	a	b	a+b
吸煙	c	d	c+d
總計(jì)	a+c	b+d	a+b+c+d

a/n≈（a+b）/n×（a+c）/n,其中n=a+b+c+d各樣本容量，即（a+b+c+d）a≈（a+b）（a+c）,即ad≈bc。因此∣ad-bc∣越小，說(shuō)明吸煙與患肺癌之間關(guān)系越弱；∣ad-bc∣越大，說(shuō)明吸煙與串肺癌之間關(guān)系越強(qiáng)。
為了使不同樣本容量的數(shù)據(jù)有統(tǒng)一的評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)，基于上面的分析，我們構(gòu)造一個(gè)隨機(jī)變量
K2=n（ad-bc）²/（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）(1)
其中n=a+b+c+d為樣本容量
若HO成立，即“吸煙與肺癌者沒(méi)有關(guān)系”，則K2應(yīng)該很小現(xiàn)在，根據(jù)表1.7中的數(shù)據(jù)，利用公式（1）計(jì)算得K2的觀測(cè)值為
k=｛9965×（7775×49-42×2099）²｝/｛7817×2148×9848×91｝=56.632
這個(gè)值是不是很大呢？
在Ho成立的情況下，統(tǒng)計(jì)學(xué)家估算出如下概率P（K²≥6.635）≈ 0.01（2）
即在Ho成立的情況下K²的值大于6.635的概率非常小近似于0.01，也就是說(shuō)，在Ho成立的情況
正下對(duì)隨機(jī)變量K2進(jìn)行多次觀測(cè)，觀測(cè)值超過(guò)6.635的頻率約為1/100。
在（2）中n越大，近似程度越高，在實(shí)際應(yīng)用中，通常要求a，b，c，d都不小于5。
思考 如果K2≥6.635，就斷定HO不成立，這種判定出錯(cuò)的可能性有多大？
現(xiàn)在觀測(cè)值k≈56.632遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于6.635，在Ho成立的條件下，由（2）式可知能夠出現(xiàn)這樣的觀測(cè)值班的概率不超過(guò)0.01，因此，我們有99%的把握認(rèn)為Ho不成立，即有99%的把握認(rèn)為“吸煙與肺癌有關(guān)系”。
上面這種利用隨機(jī)變量K2來(lái)確定在多大程度上可以認(rèn)為“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”的方法稱為兩個(gè)分類變量的獨(dú)立性檢驗(yàn)。
獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想類似于反證法，要確認(rèn)“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”這一結(jié)論成立的可信程度，首先假設(shè)該結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論“兩個(gè)分類變量沒(méi)有關(guān)系”成立，在該假設(shè)下構(gòu)造的隨機(jī)變量K2應(yīng)該很小，如果由觀測(cè)數(shù)據(jù)計(jì)算得到K2的觀測(cè)值很大，則在一定程度上說(shuō)明假設(shè)不合理，根據(jù)隨機(jī)變量K2的含義，可以通過(guò)概率（2）式評(píng)價(jià)該假設(shè)不合理的程度，由實(shí)際計(jì)算出的k﹥6.635，說(shuō)明假設(shè)不合理的程度為99%，即“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”這結(jié)論成立的可信程度約為99%。
思考 利用上面的結(jié)論，你能從列聯(lián)表的三維柱形圖中看出兩個(gè)分類變量是否相關(guān)系？
一般地，假設(shè)兩個(gè)分類變量X和Y，它們值域分別為｛x₁,x₂｝和｛y₁，y₂｝，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表（稱為2×2列聯(lián)表）為：
表1-9    稱為2×2列聯(lián)表

	y1	y2	總計(jì)
x1	a	b	a+b
x2	c	d	c+d
總計(jì)	a+c	b+d	a+b+c+d

若要推斷的結(jié)論為H1：“X與Y有關(guān)系”，可以按如下步驟判斷結(jié)論H₁成立的可能性：
1.通過(guò)三維柱形圖和二維條形圖，可以粗略地判斷兩個(gè)分類變量是否有關(guān)，但是這種判斷無(wú)法精確地結(jié)出所得結(jié)論的可靠程度。
（1）在三維柱形圖中，主要對(duì)角線上兩個(gè)柱形高度的乘積ad與副對(duì)角線上的兩個(gè)想得開(kāi)高度的乘積bc相差越大H₁成立的可能性越大。
（2）在二維條形圖中，可以估計(jì)滿足條件X =x₁的個(gè)體中具有Y=y₁的個(gè)體所占的比例a/（a+b)，也可以估計(jì)滿足條件X=x₂的個(gè)體中具體有Y=y¹體所占比例c/（c+d）兩個(gè)比例的值相差越大，H₁成立的可能性越大。
2.可以利用獨(dú)立檢驗(yàn)來(lái)考察兩個(gè)分類變量是否有關(guān)系，并且能較精確地給出這種判斷的可靠程度，具體做法是：根據(jù)觀測(cè)數(shù)據(jù)計(jì)算則（1）式給出的檢驗(yàn)隨機(jī)變量K²的值k，其值越大說(shuō)明“X與Y有關(guān)系”成立的可能性越大，當(dāng)?shù)玫降挠^測(cè)數(shù)據(jù)a，b，c,d都不小于5時(shí)，可以通過(guò)查閱
下表（1-10）來(lái)確定結(jié)論“X與Y有關(guān)系”的可信程度。
例如
（1）如果k﹥10.828，就有99.9%把握認(rèn)為“X與Y有關(guān)系”；
（2）如果k﹥7.879，就有99.5%把握認(rèn)為“X與Y有關(guān)系”；
（3）如果k﹥6.635，就有99%把握認(rèn)為“X與Y有關(guān)系”；
（4）如果k﹥5.024，就有97.5%把握認(rèn)為“X與Y有關(guān)系”；
（5）如果k﹥3.841，就有95%把握認(rèn)為“X與Y有關(guān)系”；
（6）如果k﹥2.706，就有90%把握認(rèn)為“X與Y有關(guān)系”；
如果k≤2.706，就認(rèn)為沒(méi)有充分的證據(jù)顯示“X與Y有關(guān)系”。