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《回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用》
在現(xiàn)實(shí)中，我們經(jīng)常會(huì)遇到類似下面的問題：
肺癌是嚴(yán)重威脅人類生命的一種疾病，吸煙與患肺癌有關(guān)系嗎？肥胖是影響人類健康的一個(gè)重要因素，身高和體重之間是否存在線性相關(guān)關(guān)系？等等。
為了回答這些問題，必須明確問題涉及的對(duì)象（總體）是什么？用怎么的量來描述要解決的問題，并確定獲取變量值（數(shù)據(jù)）的方法，然后用恰當(dāng)?shù)姆椒ǚ治鰯?shù)據(jù)，以得到最可靠的結(jié)論。
在必修模塊中，我們學(xué)習(xí)過關(guān)于抽樣、用樣本估計(jì)總體、線性回歸基本知識(shí)，本章中，我們
將在此基礎(chǔ)上，通過對(duì)典型例安的討論，進(jìn)一步討論線性回歸分析方法及其應(yīng)用，并初步了解獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想，認(rèn)識(shí)統(tǒng)計(jì)方法在決策中的作用。
我們知道，函數(shù)關(guān)系是一種確定性關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系是一種非確定關(guān)系，回歸分析（regression analysis）是對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的一種常用方法。在《數(shù)學(xué)3》中，我兩個(gè)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量利用回歸分析的方法進(jìn)行了研究，其步驟為畫散點(diǎn)圖，求回歸直線方程，并用回歸直線方程進(jìn)行預(yù)報(bào)。
探究：對(duì)于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)（X₁，Y₁），（X₂，Y₂），…，（X_n，Y_n），我們知道其回歸方程的截距和斜率的最小二乘估計(jì)公式分為：
^a=（-，y）-^b（-，x）（1）
^b=（nΣi=1）{（x_i-(-,x)）（yⁱ-（-，y））/（nΣi=1）（x_i-（-，x））²，（2）
其中（-，x）=1/n （nΣi=1）x_i，（-，y）=（nΣi=1）yi^.（（-，x）（-，y））稱為樣本點(diǎn)的中心。
回歸直線過樣本的中心。
例1：從某大學(xué)中隨機(jī)選取8名女大學(xué)生，其身高和體重?cái)?shù)據(jù)如表3-1所示。

求根據(jù)一名女大學(xué)生的身高預(yù)報(bào)她的體重的回歸方程，并預(yù)報(bào)一名身高為172cm的女大學(xué)生的體重。
解：由于問題中要求根據(jù)身高預(yù)報(bào)體重，因此選取身高為自變量x，真實(shí)體重為因變量y，作散點(diǎn)圖。
從圖中可以看出，樣本點(diǎn)呈條狀分布，身高和體重比較好的線性相關(guān)關(guān)系，因此可以用紀(jì)律性回歸方程刻畫它們之間的關(guān)系。
根據(jù)探究中的公式（1）和（2），可以得到
^a=-85.712，^b=0.849。
于是得到回歸方程^y=0.849-85.712。
所以，對(duì)身高為172cm的女大學(xué)生，由回歸方程可以預(yù)報(bào)其體重為
y=0.849×172-85.712=60.316（kg）。
b=0.849是斜率的估計(jì)身高x每單位時(shí)，體重y就增加0.849個(gè)單位，這表明體重與身高具有正的線性相關(guān)關(guān)系，如何描述它們之間線性相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)弱？
在必修3中，我們介紹了用相關(guān)系數(shù)r來衡量兩個(gè)變量之間線性相關(guān)關(guān)系的方法，樣本相關(guān)系數(shù)的具體計(jì)算公式為：
r=（nΣi=1）{（x_i-(-,x)）（yⁱ-（-，y））/√{（nΣi=1）（x_i-（-，x））²（nΣi=1）（x_i-（-，x））² }。
當(dāng)r﹥0時(shí)，表明兩個(gè)變量正相關(guān)，當(dāng)r＜0時(shí)，表明兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)r的絕對(duì)值越接近1，表明兩個(gè)變量的線性相關(guān)性超強(qiáng)；r越接近于0時(shí)，表明兩個(gè)變量之間幾乎不存在線性相關(guān)的關(guān)系，通常，當(dāng)r大于0.75時(shí)，認(rèn)為兩個(gè)變量有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系。
在本人例中，可以計(jì)算的線性r=0.798，這表明體重與身高有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，從而也表明我們建立的回歸模型是有意義的。
探究：身高172cm的女大學(xué)生的體重一定是60.316kg嗎？如果不是，其原因是什么？
顯然，身高172cm的女大學(xué)生的體重不一定是60.316kg但一般可以認(rèn)為她的體重接近于60.316kg，圖3.1-2中的樣本點(diǎn)和回歸直線的相互位置說明了這一點(diǎn)。
由于所有的樣本點(diǎn)不共線，而只是散布在某一條直線的附近，所以身高和體重的關(guān)系，可以用下面的線性回歸模型來表示：y=bx+a+e，（3）
與函數(shù)相關(guān)不同，在回歸模型中，y的值由x和隨機(jī)因素e共同確定，即x只能解釋部分y的變化，因此我們把x稱為解釋變量，把y稱為預(yù)報(bào)變量。
我們可以用下面的線性回歸模型來表示：
y=bx+a+e，
其中a和b為模型的未知參數(shù)，e稱為隨機(jī)誤差。
值^y與真實(shí)值y之間的誤差的原因之一，其大小取決于隨機(jī)誤差。
別一方面，由于公式（1）和（2）中的^a和^b為截距和斜率的估計(jì)值，它們與真實(shí)值a和b之間的也存在誤差，這種誤差是引起預(yù)報(bào)值^y與真實(shí)值y之間誤差的另一個(gè)原因。
思考 產(chǎn)生隨機(jī)誤差項(xiàng)e的原因是什么？
實(shí)際上，一個(gè)人的體重除了受身高的影響外，還受許多其他因素的影響，例如飲食習(xí)慣、是否喜歡運(yùn)動(dòng)，度量誤差等，另外，我們選用的線性模型往往只是一種近似的模型，所有這些因素都會(huì)導(dǎo)致隨機(jī)誤差項(xiàng)e的產(chǎn)生。
探究 在線性回歸模型中e是用（-，y）預(yù)報(bào)真實(shí)值y的誤差，它是一個(gè)不可觀測的量，那么應(yīng)該怎么樣研究隨機(jī)誤差？如何衡量預(yù)報(bào)的精度？
解決問題有途徑是通過樣本的估計(jì)來研究。
根據(jù)截距和斜率的估計(jì)公式（1）和（2），可以建立回歸方程^y=^bx+^a，
因此^y是（5）中~y的估計(jì)值，由于隨機(jī)誤差e=y-~y,
所以^e=y-^y是e的估計(jì)量。
對(duì)于樣本點(diǎn)（X₁，Y₁），（X₂，Y₂），…，（X_n，Y_n），
而言，相應(yīng)它們的隨機(jī)誤差為
e₁=y₁-~y₁=y₁-^bx₁-a，i=1，2，…，n。
其估計(jì)值為
e₁=y₁-~y₁=y₁-^bx₁-a，i=1，2，…，n。
在研究兩個(gè)變量的關(guān)系時(shí)，首先要根據(jù)散點(diǎn)圖來粗略判斷它們是否相線性相關(guān)，是否可以用線性回歸模型來擬合數(shù)據(jù)，然后，可以通過殘差^e₁，^e₂，…，^e_n。來判斷模型擬合的效果，判斷原始數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù)，這方面的分析工作稱為殘差分析。

我們可以利用圖形來分析殘差特性，作圖時(shí)縱坐標(biāo)為殘差，橫坐標(biāo)可選為樣本編號(hào)，或身高數(shù)據(jù)，或體重估計(jì)值等，這樣作出的圖形為殘差圖。圖3.1-3是以樣本編號(hào)為橫坐標(biāo)的殘差圖。
從圖3.1-3中可以看出，第1個(gè)樣本點(diǎn)和第6個(gè)樣本點(diǎn)的殘差比較大，需要確認(rèn)在采集這兩個(gè)樣本過程中是否有人為的錯(cuò)誤，如果數(shù)據(jù)采集有錯(cuò)誤，就予以糾正，然后再重新利用線性回歸模型擬合數(shù)據(jù)；如果數(shù)據(jù)數(shù)據(jù)采集沒有錯(cuò)誤，則需要尋找其他的原因，另外，殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域的寬度越窄，說明模型擬合精度越高，回歸方程的預(yù)報(bào)精確度越高。
另外，我們還可以用相關(guān)指數(shù)R²來刻畫回歸效果：
其計(jì)算公式是：R2=1-（nΣi=1）{（y_i-^y_i）²/（nΣi=1）（y_i-（-，y）²。
在含有一個(gè)解釋變量的線性模型中R²恰好等于相關(guān)系數(shù)r的平方。
顯然，R²取值越大，意味著殘差平方和越小，也就是說模型的擬合效果真好，在線性回歸模型中R²表示解釋變量對(duì)于預(yù)報(bào)變量變化的貢獻(xiàn)率，R²越接近于1，表示回歸的效果越好（因?yàn)镽²越接近于1，表示解釋變量和預(yù)報(bào)變量的線性相關(guān)性超強(qiáng)），如果對(duì)某組數(shù)據(jù)可能性采取幾種不同的回歸方程進(jìn)行分析，也可以通過比較幾個(gè)R²，選擇R²大的模型作為這組數(shù)據(jù)的模型。
在例1中R2=0.64，表明“女大學(xué)生身高解釋了64%的體重變化”，或者說“女大學(xué)生體重差異有64%是由身高引起的”。
用身高預(yù)報(bào)體重時(shí)，需要注意下列問題：
1.回歸方程只適用于我們所研究的樣本的單體，例如，不能用女大學(xué)生的身高和體重之間的回歸方程描述女運(yùn)動(dòng)員的身高和體重之間的關(guān)系，同樣，不能用生長在南方多雨地區(qū)的樹木的高與直徑之間的回歸方程，描述北方干旱地區(qū)的樹木的高盧直徑之間的關(guān)系。