課程內(nèi)容

《正太分布》
知道回顧
1.頻率分布直方圖與總體密度曲線。
2.總體密度曲線的形狀特征。

1.正態(tài)分布與正態(tài)曲線
產(chǎn)品尺寸的總體密度曲線具有“中間高，兩頭低”的特征，像這種類型的總體密度曲線，一般就是或近似的是以下函數(shù)有圖像：
f（x）=1/√（2πσ）e^{-（x-μ）2/2σ2}，x∈（-∞，+∞）
式中的實(shí)數(shù)μ、σ（σ﹥0）是參數(shù)，分別表示總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差，其分布叫做正態(tài)分布，由參數(shù)μ、σ唯一確定。正態(tài)分布常記作N（μ、σ²）。它的圖像被稱為正態(tài)曲線。
2.正態(tài)分布的期望與方差
若ξ～N（μ、σ²），則ξ的期望與方差分布為：Eξ=μ，Dξ=σ²
f（x）=1/√（2πσ）e^{-（x-μ）2/2σ2}，x∈（-∞，+∞）
例1：給出下列兩個(gè)正態(tài)總體的函數(shù)表達(dá)式，請(qǐng)找出其均值μ和標(biāo)準(zhǔn)差σ。
（1）f（x）=1/√（2π）e^-x2/2，x∈（-∞，+∞）
（2）f（x）=1/2√（2π）e^{-（x-2）2/8}，x∈（-∞，+∞）
（3）f（x）=2/√（2π）e^{-2（x+1）2/}，x∈（-∞，+∞）
正態(tài)分布
當(dāng)μ=0，σ=1時(shí)，正態(tài)總體稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體，相應(yīng)的函數(shù)表示是f（x）=1/√（2π）e ^x2/2，x∈R，相應(yīng)的曲線稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線。
觀察以上三條正態(tài)曲線，歸納出正態(tài)曲線圖的性質(zhì)：

①曲線在x軸的上方，與x軸不相交。
②曲線關(guān)于直線x=μ對(duì)稱，且在x=μ時(shí)位于最高點(diǎn)。
③當(dāng)時(shí)x＜μ，曲線上升；當(dāng)時(shí)x﹥?chǔ)?，曲線下降。并且當(dāng)曲線向左、右兩邊無限延伸時(shí)，以x軸為漸近線，向它無限靠近。
④當(dāng)μ一定時(shí)，曲線的形狀由σ確定。σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散；σ越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中。
例2.下列關(guān)于正態(tài)曲線性質(zhì)的敘述正確的是（  ）
（1）曲線關(guān)于直線x=μ對(duì)稱，這個(gè)曲線只在x軸上方；
（2）曲線關(guān)于y軸對(duì)稱。因?yàn)榍€對(duì)應(yīng)的正態(tài)密度函數(shù)是一個(gè)偶函數(shù)；
（3）曲線在x=μ時(shí)處于最高點(diǎn)，由這一點(diǎn)向左右兩邊延伸時(shí)，曲線逐漸降低；
（4）曲線的對(duì)稱軸由μ確定，曲線的形態(tài)由σ確定；
（5）σ越大，曲線越“矮胖”，總體分布越分散；σ越小，曲線越“高”?？傮w分布越集中。
例3.把一個(gè)正態(tài)曲線a沿著橫軸方向向右移動(dòng)2個(gè)單位、得到一個(gè)新的曲線b、下列說法不正確的是
（A）曲線b仍然是正態(tài)曲線；
（B）曲線a和曲線b的最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等；
（C）以曲線a為概率密度曲線的總體的方差比以曲線b為概率密度曲線的總體的方差大2；
（D）懭曲線a為概率密度曲線的總體的期望比以曲線b為概率密度曲線的總體的期望小2。
3σ原則
（1）正態(tài)分布在三個(gè)特殊區(qū)間的概率值
p（μ-σ＜X＜μ+σ）=0.6826
p（μ-2σ＜X＜μ+2σ）=0.9544
p（μ-3σ＜X＜μ+3σ）=0.9974
例4、商場經(jīng)營的某種包裝大米質(zhì)量服從正態(tài)分布N(10、0.1²)。任選一袋這種大米，質(zhì)量在（9.8、10.2）的概率是多少？
解：要求質(zhì)量在（9.8、10.2）的概率，需要轉(zhuǎn)化為（μ-2σ，μ+2σ）的形式。
p（10-2×0.1＜X＜10+2×0.1）=0.9544
思考題：正態(tài)總體N（0.1）的概率密度函數(shù)是：
f（x）=1/√（2πσ）e^{-（x-μ）2/2σ2}
（1）求證：f（x）是偶函數(shù)；
（2）求f（x）的最大值；
（3）求f（x）的單調(diào)區(qū)間。