課程內(nèi)容

《離散型隨機變量的均值》
一、引例
1、某人射擊10次，所得環(huán)數(shù)分別是：1，1，1，1，2，2，2，3，3，4；則所得的平均環(huán)數(shù)是多少？
（-，x）=(1+1+1+1+2+2+2+3+3+4)/10=2
把環(huán)數(shù)看成隨機變量的概率分布列：

（2）EX=0×0.3³+1×C¹₃0.7^.0.3²+2×C²₃0.7².0.3+3×0.7³
EX=2.1
小結(jié)：
一般地，如果隨機變量X服從二項分布，即X～B（n,p），則EX=nP
證明：服從二項分布ζ=np  提示：kC^k_n=nC^k-1_n-1
證明：P（ζ=k）=C^k_nP^k（1-p）^n-k=C^k_nP^kq^n-k 
Eζ=0×C⁰_nP⁰qⁿ+1×C¹_nP¹q^n-1+…+kC^k_nP^kq^n-k+…+Cⁿ_nPⁿq⁰
=np（C⁰_n-1P⁰q^n-1+C¹_n-1P¹q^n-1+…+kC^k-1_n-1P-1^kq^{n-k-（k-1）}+…+C^n-1_n-1P^n-1q⁰）
=nP（P+q）^n-1=nP 
所以，若ζ～B（n，P），則Eζ=np
例3：
一次英語單元測驗由20個選擇題結(jié)成，每個選擇題有4個選項，其中有且只有一個選項是正確答案，每題選擇正確答案得5分，不作出選擇或選錯不得分，滿分100分，學(xué)生甲選對任意一題的概率為0.9，學(xué)生乙則在測驗中，對每題都從4個選項中隨機的選擇一個。求學(xué)生甲和乙這次英語單元測驗中的成績的期望。
解：設(shè)X₁表示甲選對的題數(shù)、X₂乙選對的題數(shù)，它們都滿足二項分布：
X₁～B（20，0.9）    X₂～B（20，0.25）
所以：EX₁=np=20×0.9=18
EX₂=np=20×0.25=5
甲所得分數(shù)的期望為：18×5=90
乙所得分數(shù)的期望為：5×5=25
例4，決策問題：
根據(jù)氣象預(yù)報，某地區(qū)近期有小洪水的概率為0.25，有大洪水的概率為0.01，該地區(qū)某工地上有一臺大型設(shè)備，遇到大洪水時要損失60000元，遇到小洪水時要損失10000元。為保護設(shè)備，有以下種方案：
方案1：運走設(shè)備，搬運費為3800元。
方案2：建保護圍墻，建設(shè)費為2000元，但圍墻只能擋住小洪水。
方案3：不采取措施，希望不發(fā)生洪水。
度比較哪一種方案好。