課程內(nèi)容

《二項(xiàng)式定理復(fù)習(xí)課》
（a+b）ⁿ=C⁰_na²+C¹_na^n-1b+C²_nn^n-2b²+…+C^r_na^n-rb^r+Cⁿ_nbⁿ
（n∈N）
這個(gè)公式表示的定理叫做二項(xiàng)式定理，公式右邊的多項(xiàng)式叫做（a+b）n的展開(kāi)式，其中C^r_n（r=1，2，……，n）叫做二項(xiàng)式系數(shù)，C^r_na^n-rb^r叫做二項(xiàng)展開(kāi)的通項(xiàng)，用T_^r+1表示，該項(xiàng)是指展開(kāi)的第r+1項(xiàng)，展開(kāi)式共有n+1個(gè)項(xiàng)。
T_^r+1=C^r_na^n-rb^r
系數(shù)性質(zhì)
（1）二項(xiàng)式系數(shù)的三個(gè)性質(zhì)：
對(duì)稱(chēng)性
增減性與最大值
各二項(xiàng)式系數(shù)的和
增減性：當(dāng)k＜（n+1）/2時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)是逐漸增大的，
由對(duì)稱(chēng)性知，它的后半部分是逐漸減小的。
最值：當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，中間的一項(xiàng)C^n/2_n取得最大值時(shí)；
當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，中間的兩項(xiàng)C^n-1/2_n和C^n+1/2_n相等，且同時(shí)取得最大值。
二項(xiàng)式系數(shù)之和：2n（由賦值法求得）
各二項(xiàng)式系數(shù)的和
在二項(xiàng)式定理中，令a=b=1，則：C⁰_n+¹_n+C²_n+……+Cⁿ_n=2ⁿ
這就是說(shuō)，（a+b）ⁿ的展開(kāi)式的各二項(xiàng)式系數(shù)的和等于：2ⁿ
另：在（a+b）ⁿ展開(kāi)式中，奇數(shù)項(xiàng)中，奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于偶數(shù)項(xiàng)的二式系數(shù)的和。
C⁰_n+C²_n+……=+C¹_n+C³_n=2ⁿ/2=2ⁿ-1
例1 計(jì)算并求值
（1）1+2C¹_n+4Cⁿ_n+…+2ⁿCⁿ_n
（2）（x-5）⁵+5（x-1）⁴+10（x-1）³+10（x-1）²+5（x-1）
例題講解
例2、如果：1+2C¹_n+2²C²_n+…+2ⁿCⁿ_n=2187
求：C¹_n+…+C^r_n+…+Cⁿ_n 的值。
分析：1+2C¹_n+2²C²_n+…+2ⁿCⁿ_n=C⁰_n^.2^0.1ⁿ+C¹_n^.2^.1^n-1+C²_n.2^2.1 n-2+…+Cⁿ_n.2ⁿ.¹⁰=（1+2）ⁿ=3ⁿ
由題意，得3ⁿ=2178=3⁷  于是n=7
C⁰_n+C¹_n+…+C^r_n+…+Cⁿ_n=2ⁿ
原式=C¹_n+…C^r_n+…+Cⁿ_n=2ⁿ-1=2⁷-1=127
例3 若n∈N₊，（√2+1）ⁿ=√2a_n+b_n，（a_n，b_n∈Z），則b_n的值（A）
A 一定為奇數(shù)        B與n的奇偶性相反
C 一定為偶數(shù)        D與n的奇偶性性相同
例4：由（√3x+³√2）¹⁰⁰展開(kāi)式所得的x的多項(xiàng)式中，系數(shù)為有理數(shù)的共有多少項(xiàng)？
分析：考慮（√3x+³√2）¹⁰⁰的展開(kāi)式的通項(xiàng)
T_r+1=C^r100（√3x）^100-r（3√2）^r
=C^r₁₀₀3^100-r/22^r/3x^100-r=C^r₁₀₀3^50-r/22^r/3x^100-r
要使x系數(shù)為有理數(shù)，則r為6的倍數(shù)，令r=6k（k∈Z），而且0≤6k ≤100，即r=0，6，12，…，96。因此共有17項(xiàng)。