課程內(nèi)容

《復(fù)數(shù)代數(shù)表形式的四則運(yùn)算》
一、復(fù)習(xí)回顧
1、設(shè)Z₁=a+bi，Z₂=c+di，則Z₁-Z₂分別等于什么？
Z₁±Z₂=（a±c）+（b±d）i。
2、設(shè)Z₁，Z₂為復(fù)數(shù)，則∣Z₁-Z₂∣的幾何意義是什么？
復(fù)數(shù)Z₁，Z₂對(duì)應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)之間的距離。
二、問題探究
設(shè)Z₁=a+bi，Z₂=c+di是任意兩個(gè)復(fù)數(shù)
（a+bi）（c+di）=ac+adi+dci+bdi²=（ac-bd）+（bc+ad）i
（1）復(fù)數(shù)的乘法與多項(xiàng)式的乘法類似，只要在怕得結(jié)果中把i²換成-1，然后實(shí)部，虛部分別合并。
（2）兩個(gè)復(fù)數(shù)的積仍然是一個(gè)復(fù)數(shù)。
（二）復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算律
對(duì)于任意Z₁，Z₂，Z₃，∈C
（1）Z₁.Z₂=Z₂.Z₁
（2）（Z₁.Z₂）.Z₃=Z₁.（Z₂.Z₃）
（3）Z₁+（Z₂+Z₃）=Z₁Z₂+Z₁Z₃
復(fù)數(shù)的乘法滿足交換律、結(jié)合律和對(duì)加法的分配。
三、典型例題
例1：計(jì)算
（1）（a+bi）（a+bi）   a²+b²
（2）（a+bi）²       （a²+b²）+2abi   
a+bi與a-bi  （三）共軛復(fù)數(shù)
當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等，虛部為相反數(shù)時(shí)，這兩個(gè)復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù)。
虛部不為零有兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)也叫做共軛虛數(shù)。
復(fù)數(shù)Z=a+b1的共軛復(fù)數(shù)記作（-，Z），即（-，Z）a-bi
問題1：一對(duì)共軛復(fù)數(shù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置關(guān)系如何？
       關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱
問題2：若Z=（-，Z）則復(fù)數(shù)Z具有什么特征？
       Z為實(shí)數(shù)
問題3：設(shè)Z=a+bi （a，b∈R），那么Z+（-，Z）=？Z-（-，Z）=？
（四）復(fù)數(shù)的除法法則
設(shè)復(fù)數(shù)Z₁=a+bi，  Z₂=c+di （c+di≠0），
求Z₁÷Z₂？
（a+bi）/（c+di）=（a+bi）（a-di）/（c+di）（c-di）=（ac+bd）/（c²+d²）+（bc-ad）/（c²+d²）i
在進(jìn)行復(fù)數(shù)除法運(yùn)算時(shí)，通常先把除式寫成分式的形式，再把分子與分母都乘以分母有共軛復(fù)數(shù)，化簡(jiǎn)后寫成代數(shù)形式（分母實(shí)數(shù)化）
兩個(gè)復(fù)數(shù)相除（除數(shù)不為0），所得的商一還是一個(gè)復(fù)數(shù)。
【探究】i的指數(shù)變化規(guī)律
i¹=i，    i²=-1，    i⁴=1
i⁵=     ，i⁶=     ，i⁷=     ，i⁸=     
i⁴ⁿ=1，i⁴ⁿ⁺¹=i，i⁴ⁿ⁺²=-1,i⁴ⁿ⁺³=-i
【例2】求值：i+i²+i³+……+i²⁰⁰⁶
解：原式=（i+i²+i³+i⁴）+（i⁵+i⁶+i⁷+i⁸）+…+（i²⁰⁰¹+i ²⁰⁰²+i²⁰⁰³+i²⁰⁰⁴）+i²⁰⁰⁵+i²⁰⁰⁶=0+i¹+i²=i-1
例3：設(shè)Z=（1+2i）÷（3-4i）×（1+i）²求（-，Z）。
    （-，Z）=-4/5+2/5 i
例4：復(fù)數(shù)Z滿足（1+2i）（-，Z）=4+3i，求Z
     Z=2+i
例5：設(shè)復(fù)數(shù)Z=（√3+mi）/（3+√3i）,若Z為純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)m的值。
     m=-3
例6：已知方程x²-2x+2=0有兩虛數(shù)根為x₁,x₂，求x₁⁴+x₂⁴的值。
解：∵x_1，2=1±i,
    ∴x₁⁴+x₂⁴=（1+i）+（1+i）⁴=（2i）²+（-2i）²=-8。
課堂小結(jié)
1.復(fù)數(shù)的乘法法則類似于兩個(gè)多項(xiàng)式相乘，展開后要把i²換成-1，并將實(shí)部與虛部分別合并。
2.復(fù)數(shù)的除法法則類似于兩個(gè)根式的除法運(yùn)算，一般先將除法運(yùn)算式寫成分式，再將分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，使分母實(shí)數(shù)化，分子按乘法法則運(yùn)算。
3.對(duì)復(fù)數(shù)的乘法、除法運(yùn)算要求掌握它們的算法，不要求記憶運(yùn)算分工，對(duì)復(fù)數(shù)式的運(yùn)算結(jié)果，一般要化為代數(shù)式。