課程內(nèi)容

《微積分基本定理（1）》
一、探究
從前面的學(xué)習(xí)中可以發(fā)現(xiàn)，雖然被積函數(shù)f（x）=x3非常簡(jiǎn)單，但直接用積分的定義計(jì)算，∫^b_ax³dx的值卻比較麻煩，對(duì)于有些宣∫^b_a1/xdx,幾乎不可能直接用定義計(jì)算，那么，有沒(méi)有更加簡(jiǎn)便、有效的方法求定積分呢？另外，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了微積分學(xué)中兩個(gè)最基本和最重要的概念，——導(dǎo)數(shù)和定積分，這兩個(gè)概念之間有沒(méi)有內(nèi)在的聯(lián)系呢？我們能否利用這種聯(lián)系求定積分呢？
請(qǐng)你嘗試?yán)枚ǚe分定義計(jì)算+∫²₁（1/xdx
我們先來(lái)探究一下導(dǎo)數(shù)和定積分的聯(lián)系。（x）dx+∫^b_a（x）dx
探究 如圖1.6-1、一個(gè)作變速直線運(yùn)動(dòng)的物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是s=s（t）由導(dǎo)數(shù)的概念可知，它在任意時(shí)刻的速度V（t）=s(t)設(shè)這個(gè)物體在時(shí)間段[a、b]內(nèi)的位移為S，你能分別用s(t)，v(t)表示S嗎？
顯然，物體的位移S是函數(shù)S=S（t）在t=b處與t=a外的函數(shù)值之差，即S=s（b）-s（a）。①
另一方面，我們還可以利用定積分，由v（t）g來(lái)求位移S用分點(diǎn)a=t₀＜t₁……＜t_i-1＜t_i……t_n=b將區(qū)間[a,b]等分成n個(gè)小區(qū)間；
[t₀，t₁]，[t₁，t₂],……[t_i-1],……[t_n-1,t_n],
每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度均為Δt=t_i-t_i-1=(b-a)/n.
當(dāng)Δt很小時(shí)，在[t_i-1,t_t]上，v（t）的變化很小，可以認(rèn)為物體近似地以速度v（t_i-1）作勻速運(yùn)動(dòng)，物體所作的位移Δs≈h₁=v(t_i-1)Δt=t_i-1Δs=(b-a)/ns'（t_i-1）②
從幾何意義上看，（圖1.6-2），設(shè)曲線s=s(t)上與t_i-1對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為P、PD是P點(diǎn)處的切線，由s（t_i）導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，切線PD的斜率等于s（t_i-1）于是Δs_i≈h_i=tan＜DPC.Δt=S（t_i-1）.Δt。
結(jié)合圖1.6-1，可得物體總位移S=（nΣi=1）Δsi≈（nΣi=1）hi=（nΣi=1）v（t_i-1）Δt=（nΣi=1）s'（t_i-1）Δt。
顯然，n越大，即Δt越小，區(qū)間[a，b]的分劃就越細(xì)，
（nΣi=1）V（t_i-1）Δt=（nΣi=1）s（t_i-1）Δt與S的近似程度就越好。
由定積分的定義有S=lim_nà∞（nΣi=1）(b-a)/nV（t_i-1）=∫^b_aV（t）dt=∫^b_as'（t）dt。
結(jié)合①有S=∫^b_aV（t）dt=∫^b_as'（t）dt=s（b）-s（a）。
上式表明，如果作變速直線運(yùn)動(dòng)的物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是s=s（t）,那么V（t）=s（t）在區(qū)間[a，b]上的定積分就是物體的位移s（b）-s(a)。
二、定義
一般地如果f（x）是區(qū)間[a，b]上的連續(xù)函數(shù)并且f（x）=f(x)，那么∫^b_a (x)dx=F（b）-F(a)，這個(gè)結(jié)論叫做微積分基本定理（fundamental theorem of calculus)，又叫做牛頓——萊布呢茲公式，（Newton—Leibniz Formula).
為了方便，我們常常把F（b）-F（a）記成F(x)∣^b_a ；即∫^b_af（x）dx=F(x)∣^b_a=F（b）-F（a）。
微積分基本定理表明，計(jì)算定積分∫^b_a f(x)dx的關(guān)鍵是找到滿足F（x）=f（x）的函數(shù)F（x），通常，我們可以運(yùn)用基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算計(jì)則從反方向求F（x）。