課程內(nèi)容

《定積分的概念》
一、復(fù)習(xí)引入
從曲邊梯形的面積及求變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)路程的過(guò)程可以發(fā)現(xiàn)，它們都可以通過(guò)“四步曲”；分割、近似代替，求和、取極限得到解決，且都可以歸納為求一個(gè)特定形式和的極限：
曲邊梯形的面積
S=lim_(Δx-0)（nΣi=1）F（ζ_t）Δx=lim_(Δx-0)（nΣi=1）F（ζ_t）；
變速運(yùn)動(dòng)的路程
S=lim_(Δx-0)（nΣi=1）V（ζ_i）Δx=lim_(Δx-∞)（nΣi=1）1/nV（ζ_i）；
二、定積分的定義
事實(shí)上，許多問(wèn)題都可以歸納結(jié)為求這種特定形式和的極限。一般地，我們有
如果函數(shù)在f（x）在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，用分點(diǎn)a=x₀＜x₁…＜x_i-1＜x_i＜…＜x_n=b
將區(qū)間[a,b]等分成n個(gè)小區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)間[x_i-1,x_i]上任意取一點(diǎn)ζi（i=1，2，……n）,作和式（nΣi=1）f（ζ_i）Δx=（nΣi=1）（b-a）/nf（ζ_i），當(dāng)nà∞時(shí)，上述和式無(wú)限接近某個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)叫做函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上的定積分（definite int egral）,記作
∫¹₀f（x）dx，即∫¹₀x²dx=1/3。
同樣地，1.5.2中汽車(chē)在0≤t≤1這段時(shí)間內(nèi)經(jīng)過(guò)的路程S=∫¹₀V（t）dt=∫¹₀（-t²+2）dt=5/3.
定積分的定義：∫¹₀f（x）dx=lim_(Δx-∞)（nΣi=1）(b-a)/nf（ζ_i）；
定積分的相關(guān)名稱(chēng)：
∫——叫做積分號(hào)，
f（x）——叫做被積分函數(shù)，
f（x）dx——叫做被積表達(dá)式，
x——叫做積分變量，
a——叫做積分下限，
b——叫做積分下限，
[a,b]——叫做積分區(qū)間。 
按定積分的定義，有
（1）由連續(xù)曲線(xiàn)y=f（x）（f（x）≥），直線(xiàn)x=a，x=b及x軸所圍成的曲邊梯形的面積為
S=∫¹₀f（x）dx；
（2）設(shè)物體運(yùn)動(dòng)的速度V=V（t），則此物體在區(qū)間[a,b]內(nèi)運(yùn)動(dòng)的距離S為
s=∫¹₀V（t）dt。
說(shuō)明：
（1）定積分是一個(gè)數(shù)值，
它只與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān)，而與積分變量的記法無(wú)關(guān)，即
∫^b_af（x）dx=-∫^b_af（x）dx
三、定積分的剛體意義：
當(dāng)f（x）≥時(shí)，積分∫^b_af（x）dx在幾何上表示由y=f（x）、x=a、x=b與x軸所圍成的曲邊梯形的面積。
特別地，當(dāng)a=b時(shí)，有∫^b_af（x）dx=0。
當(dāng)f（x）≤0時(shí)，由y=f（x）、x=b與x軸所圍成的曲邊梯形位于x軸的下方，積分∫^b_af（x）dx在幾何上表示上述曲邊梯形面積的負(fù)值。
S=[∫^b_af（x）]dx
=-∫^b_af（x）dx
∫^b_af（x）dx=-S
四、定積分的基本性質(zhì)
性質(zhì)1。
∫^b_akf（x）dx=k∫^b_af（x）dx
性質(zhì)2。
∫^b_a[f（x）±g（x）]dx=∫^b_af（x）dx±∫^b_a（x）dx
性質(zhì)3.定積分關(guān)于積分區(qū)間具有可加性
∫^b_af（x）dx=∫^b_af（x）dx+∫^b_a（x）dx
∫^b_af（x）dx=∫^b_af（x）dx+∫^b_af（x）dx+∫^b_af（x）dx