小結(jié)：求由連續(xù)曲線y=f（x）對應(yīng)的曲邊梯形面積的方法
（1）分割   （2）近似代替   （3）求和   （4）取極限
把這些矩形面積相加作為整個曲邊形面積S的近似值。
有理由相信，分點越來越密時，即分割越來越細(xì)時，矩形面積和的極限即為曲邊形的面積。
[點評]（1）分割的目的在于更精確地“以直代曲”。上例中以“矩形”代替“曲邊梯形”，隨著分割的等份數(shù)增多，這種“代替”就越精確，當(dāng)n愈大時，所有小矩形的面積就愈逼近曲邊梯形的面積。
（2）在“近似代替”中，教材在每一個小區(qū)間[（i-1/n，i/n）]上取左端，事實上可以用取右端點或區(qū)間上的任意點，前面我們已經(jīng)驗證了取右端點時的情形。
（3）求曲邊梯形的面積，通常采用分割、近似代替，求和，取極限的方法。
二、求汽車行駛的路程

上圖中：所有粘矩形之和，其極限就是由直線x=0,x=1和曲線v(t)=t2+2所圍成的曲邊梯形的面積，即路程S
與求曲邊梯形面積類似，我們采取“以不變代變”的方法，把求變速直線運動的路程問題?；瘹w為求勻速直線運動的路問題，即將區(qū)間[0，1]等分成n個小區(qū)間，在每個小區(qū)間上，由于v（t）變化很小，可以認(rèn)為汽車近似于作勻速直線運動，從而求和得的近似值，最后讓n趨向于無窮大就得到S的精確值。
解：1.分割
在時間區(qū)間[0，1]上等間隔地插入n-1個點，將區(qū)間[0，1]等分成n個區(qū)間：
[0,1/n],[1/n，2/n]，…，[（n-1）/n，1]記第i個區(qū)間為[（i-1）/n，i/n]（i=1，2,…，n）,其長度為△t=i/n-(i-1)/n
把汽車在時間段[0,1/n],[1/n，2/n],…，[(n-1)/n，1]上行駛路程分別記作：△S1，△S2，…，△Sn
顯然，S=（nΣi=1）△Si
（2）近似代替 當(dāng)n很大，△t很小時，在區(qū)間[（i-1）/n，i/n]上，可以認(rèn)為函數(shù)v（t）=-t2+2的值變化很小，近似等于一個常數(shù)，不妨認(rèn)為它近似等于左端點（i-1）/n處的函數(shù)值v（i-1/n）=-（(i-1)/n）+2，從物理意義上看，即使汽車在時間段[（i-1）/n，i/n](i=1，2，……，n)上的速度變化很小，不妨認(rèn)為它近似地以時刻（i-1）/n處的速度v（i-1）/n=-((i-1)/n)2+2作勻速直線運動。
即汽車在局部小范圍內(nèi)“以勻速代變速”，于是用小矩形的面積△S'近似代替△St，則有
△Si≈△St''=v（（i-1）/n）².1/n+2/n(i=1,2…，n)①
（3）求和，由①得
Sn=（nΣi=1）△St'=（nΣi=1）v{(i-1)/n}△t
=（nΣi=1)[-((i-1)/n²).1/n+2/n]
=0.1/n-(1/n)².1/n-…-（（n-1）/n）².1/n+2
=-1/n³ [1²+2²+…+（n-1）²]+2
=-1/n³{(n-1)n(2n-1)/6}+2=-1/3(1-1/n)(1-2n)+2
從而得到S的近似值S≈Sn=-1/3(1-1/n)(1-1/n)+2
（4）取極限
當(dāng)n趨向于無窮大時，即△t趨向于0時，Sn=-1/3（1-1/n）(1-1/2n)+2趨向于S，
從而有S=LimSn n→∞
      =LimSn n→∞[-1/3(1-1/n)(1-1/2n)+2]=5/3
思考：結(jié)合求曲邊梯形面積的過程，你認(rèn)為汽車行駛的路程S與由直線t=0，t=1，V=0和曲線v=-t²+2所圍成的曲邊梯形的面積有什么關(guān)系？
結(jié)合上述解過程可知，汽車行駛的路程S=LimSn n→∞ 在數(shù)據(jù)上等于由直線t=0，t=1,v=0和曲線v=-t²+2所圍成的曲邊梯形的面積。
結(jié)論：一般地，如果物體做變速直線運動，速度函數(shù)為v=v（r）那么我們也可以采用分割、近似代替，求和、取極限的方法，利用“以不變代變”的方法及無限逼近的思想，求出它在a≤t≤b內(nèi)所作的位移S。