課程內(nèi)容

《生活中的優(yōu)化問題舉例》
一、復習：如何用導數(shù)來求函數(shù)的最值？
一般地，若函數(shù)y=f（x）在[a，b]上的圖象是一條龍連續(xù)不斷的曲線，則求f（x）的最值步驟是：
（1）求y=f（x）[a，b]內(nèi)的極值（極大值與極小值）；
（2）將函數(shù)的積極值與端點處的函數(shù)值f（a）、f(b)比較，其中最大的一個為最大值，最小一個為最小值。
特別地，一般如果函數(shù)在給定開區(qū)間內(nèi)只有一個極值點，則這個極值一定是最值。
二、引入新課
什么是優(yōu)化問題
生活經(jīng)常遇到求利潤最大，用料最省、效率最高等問題，這些問題通常稱為優(yōu)化問題。
導數(shù)是求最大（?。┲档挠辛ぞ?，本節(jié)我們運用導數(shù)解決一些生活中的優(yōu)化問題。
三、應用
問題情景一；海報版面尺寸的設計
【背景材料】學校或班級舉行活動，通常需要張貼海報進行宣傳，現(xiàn)讓你設計一張如圖所示的豎向張貼的海報，要求版心面積為128dm²，上、下兩邊各空2dm，左、右兩邊各1dm。
例1、學校或班級舉行活動，通常需要張貼海報進行宣傳，現(xiàn)讓你設計一張如圖所示的豎向張貼的海報，要求版心面積為128dm2，上、下兩邊各空2dm，左、右兩邊各空1dm，如圖設計海報的尺寸才能使四周空白面積最?。?br> 解：設版心的高為xdm，則版心的寬128/x dm，此時四周空白面積為
S（x）=（x+4）（128/x+2）-128
      =2x+512/x+8（x>0）
∵S'（x）=2-512/x ²
S（x）=2x+512/x+8，S'（x）=2-512/x ²
∴令S'（x）=0可解得x=16（x=-16舍去）
列表討論如下

∵S（x）在（0，+∞）上只有一個極值點
∴由上表可知，當x=16，即池版心高為16dm，寬為8dm時，S（x）最小。
答：當版心高為16dm，寬為8dm時，海報四周的空白面積最小。
問題情景二：飲料瓶大小對飲料公司利潤的影響
【背景材料】下面是某品牌飲料的三種規(guī)格不同的產(chǎn)品，若它們的價格如表所示，則
（1）對消費者而言，選擇哪一種更合算呢？
（2）對制造商而言，哪一種的利潤更大？

例2、某制造商制造并出售球形瓶裝某種飲料，瓶子的制造成本是0.8πr²分，其中r是瓶子的半徑，單位是厘米，已知在不考慮瓶子的成本的前提下，每出售1mL的飲料，制造商可獲利0.2分，且制造商能制造的瓶子的最大半徑為6Cm，則每瓶飲料的利潤何時最大，何時最小呢？
解：∵每個瓶的容積為：4/3πr³（ml）
每瓶飲料的利潤為y，則y=f(r)=0.2×4/3πr³-0.8πr²
                      =0.8πr（r³/3-r²）（0 令f'（r）=0.8π（r²-2r）=0，得r=2

∵f(r）在（0，6）上只有一個極值點
∴由上表可知，當r=2時，利潤最小，且當rà0時f（r）à0 而當r∈（2，6）時，f（r）90.432
四、小結：
1.在日常生活中，我們經(jīng)常會遇到求利潤最大，用料最省，效率最高等問題，這些問題通常稱為優(yōu)化問題。
2.解決這些優(yōu)化問題的基本思路如以下流程圖所示：
  優(yōu)化問題à用函數(shù)表示的數(shù)學問題
     a            a
 優(yōu)化問題的答案?用導數(shù)解決數(shù)學問題
2.解決優(yōu)化問題的實質(zhì)是將實際問題化歸為函數(shù)的最值問題處理，其探究過程是一個典型的數(shù)學建模過程，對目標函數(shù)的最值，要根據(jù)函數(shù)式的特點，用適當?shù)姆椒ㄇ蠼猓袝r用基本不等式或二次函數(shù)圖象求最值比用導數(shù)更方便。
3.對優(yōu)化問題中的函數(shù)交關系，要注意根據(jù)實際背景確定函數(shù)的定義域，如果目標函數(shù)在定義域內(nèi)只有一個極值點，則這個極值點一般就是最值點。
五、練習
（1）一艘輪船在航行中每小時的燃料費和它的速度的立方成正比，已知在速度為每小時10km時，燃料費是每小時6元，其它與速度無關的費用是每小時96元，問此輪船以何種速度航行時，能使每行駛1km的總費用最小？
（2）用總長為14.8m的鋼條制作一個長方體容器的框架，如果所制作的容器的高為多時，其容積最大？最大容積為多少？