課程內(nèi)容

《角的向量計(jì)算方法》
回顧異面直線所成夾角的計(jì)算步驟
如圖，在正方形ABCD—A'B'C'D'中，B1E1=D1F1=A1B1/4=1
求BE1與BF1所成的角的余弦值。
(→，E1B)=（4，4，0）-（4，3，4）=（0，1，-4），
(→，DF1)=（0，2，2）-（0，0，0）=（0，1，4),
(→，BE1).(→，DF1)=0×0+1×1+（-4）×4=-15
∣(→，BE1)∣√17，∣(→，DF1)∣=√17.
cos＜<(→，BE1),(→，DF1)>﹥(→，BE1).(→，DF1)/∣(→，BE1)∣.∣(→，BF1)∣=-15/√17×√17=-15/17
1.1直線和平面所成的角的定義
平面的一條斜線和它在這個(gè)平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫做這條斜線和這個(gè)面所成的角。
∠AOB（記為θ）是a與α所成的角
規(guī)定：直線和平面垂直：所成的角是直角直線和平面平行或平面內(nèi)，θ＝0°
斜線和平面成角0°＜θ＜0°
直線和平面成角0°≤θ≤90°
1.2直線和平面的所成的角的向量計(jì)算公式
AO是平面α的斜線，A是人斜足，OB垂直于α，B為垂足，則直線AB是斜線OA在平面α的射影，(→，N)⊥α，(→，N)稱為平面α的一個(gè)法向量。
sinθ1=cos（90°-θ1）
=∣cos<(→，OA,)(→，N)>∣=∣(→，OA,).(→，N)∣/∣(→，OA,)∣∣(→，N)∣
即sinθ1=∣(→，OA,).(→，N)∣/∣(→，OA,)∣∣(→，N)∣
1.3直線和平面所成的角的向量計(jì)算示例
例1，在正方體AC1中，E是CD的中點(diǎn)，求AE與平面BCC1B1所成的角的正弦值。
解：如圖在玉體AC1中建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)正方體AC1的村長(zhǎng)為2，則E（0，——0）A1（2，0，2）
∴(→，EA1)＝（2，1，2）
易知，平面BCC1B1的一個(gè)法向量為(→，n)=(→，aCD)=（0，-2，0）
設(shè)A1E與平面BCC1B1所成的角為θ
sinθ1=∣(→，EA1).(→，n)∣/∣(→，EA1)∣∣(→，n)∣=1/3
2.1、二面角及二面角的平面角的定義
從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角。
這條直線叫做二面角的棱。
這兩個(gè)平面叫做二面角的面。
以二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱的兩個(gè)射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角。
2.2、二面的向量計(jì)算公式
(→，m)是平面α的一個(gè)法向量，(→，n）是平面β的一個(gè)法向量，二面角的大小與兩法向量所成角相角相等或互補(bǔ)。
銳二面角θ：cosθ=∣cos<(→，m)，(→，n)>∣
=∣(→，m).(→，n)∣/∣(→，m)∣∣(→，n)∣
對(duì)于鈍二面角的計(jì)算其余弦值必為負(fù)。
當(dāng)然若能直接得到二面的平面角兩邊應(yīng)的向量更好。
例2。如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為正文形，側(cè)棱SD⊥底面ABCD,E、F分別為AB、SC的中點(diǎn)，設(shè)SD=2DC，求二面角A-EF-D的余弦值。
解：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz。
由于底面ABCD為正方形，SD=2DC，不妨設(shè)A（2，0，0）則
B（2，0，0），C（0，2，0），S（0，0，4），E（2，1，0），F(xiàn)（0，1，2）
∴(→，DE）=（2，1，0），(→，EF）=（-2，0，2），(→，AE）=（0，1，2）
設(shè)(→，n）=（x，y,z）為平面DEF的法向量。
則2x+y=0，-2x+2z=0=>(→，n)=（1，-2，1）
設(shè)(→，m)=（t,u,v）為平面AEF的法向量。
則u=0，-2t+2v=0=>(→，m)=（1，0，1）
∴∣cos<(→，n)，(→，m)>∣=∣(→，n).(→，m)∣/∣(→，n)∣∣(→，m)∣=√3/3