課程內(nèi)容

《函數(shù)的極值與導數(shù)》
（一）復習
一般地，函數(shù)y=f（x）在某個區(qū)間（a，b）內(nèi)
1）如果恒有f′（x）﹥0，那么y=f（x）在這個區(qū)間（a，b）內(nèi)單調(diào)遞增；
2）如果恒有f′（x）＜0，那么y=f（x）在這個區(qū)間（a，b）內(nèi)單調(diào)遞減；
f′（x）﹥0   增函數(shù)
f′（x）＜0   減函數(shù)
判定函數(shù)單調(diào)性的常用方法：
（1）定義法
（2）導數(shù)法
（二）探究、
如圖，函數(shù)y=f（x）在a、b、c、d、e、f、g、h、i等點的函數(shù)值與這些點附近的函數(shù)值有什么關(guān)系，y=f（x）在這些點的導數(shù)值是多少？在這些點附近，y=f（x）的導數(shù)的符號有什么規(guī)律？

（三）：講授新課 a）函數(shù)極值的定義
1）函數(shù)y=f（x）在x=a處的函數(shù)值f（a）比它在點x=a附近其它各點的函數(shù)都小，我們就說f（a）是函數(shù)的一個極小值，點a叫做極小值點。
2）函數(shù)y=f（x）在x=b處的函數(shù)值f（b）比它在點x=b附近其它各點的函數(shù)值都大，我們就說f（b）是函數(shù)的一個極大值，點b叫做極大值點。
3）極大值點，極小值點統(tǒng)稱為極值點，
4）極大值與極小值統(tǒng)稱為極值。
注：函數(shù)的極大值、極小值未必是函數(shù)的最大值、最小值。
即：極大值不一定等于最大值；極小值不一定等于最小值。
 b)求函數(shù)的極值
1）如果b是f′（x）=0的一個根，并且在b的左側(cè)附近f′（x）﹥0，在右側(cè)f′（x）＜0，那么f（b）是函數(shù)f（x)的一個極大值。
2）如果a是f′（x）=0的一個根，并且在a的左側(cè)附近f′（x）＜0,在a右側(cè)附近f′（x）﹥0，那么f（a）是函數(shù)f（x）的一個極小值。

C）注意：
（1）函數(shù)的極值是就函數(shù)在某一點附近的小區(qū)間而言的，在函數(shù)的整個定義區(qū)間內(nèi)可以能有多個極大值或極小值。
（2）極大值不一定比極小值大，
（3）要區(qū)分極值與極值點；
（4）導數(shù)等于零的點不一定是極值點。
例：y=x³
d）求函數(shù)極值的一般步驟：
（1）確定函數(shù)的定義域
（2）求方程f′（x）=0的根
（3）用方程f′（x）=0的根，順次將函數(shù)的定義域分成若干個開區(qū)間，并列成表格
（4）由f′（x）在方程f′(x)=0的根左右的符號，來判斷f（x）在這個根處取極值的情況。
口訣：左負右正為極小，左正右負為極大。
e）例題講解
例1：下圖是導函數(shù)y=f′(x)的圖象，在標記的點中，在哪一點處
（1）導函數(shù)y=f′(x)有極大值？
  x=x₂
（2）導函數(shù)y=f′(x)有極小值？
x=x₁或x=x₄ 
（3）函數(shù)y=f(x)有極大值？
  x=x₂ 
（4）函數(shù)y=f(x)有極小值？
  x=x₅ 
例2：求函數(shù)f（x）1/3x³-4x+4的極值
解：
因為f（x）=1/3x³-4x+4，所以f′（x）=x²-4
令f′（x）=0，解得x=2，或x=-2。
當f′（x）﹥0，即x﹥2，或x＜-2；
當f′（x）＜0，即-2＜x＜2。
當x變化時，f（x）的變化情況如下表：

所以，當x=-2時，f（x）有極大值28/3；
      當x=2時，f（x）有極小值-4/3。
例3：求下列函數(shù)的極值：
（1）f（x）=6x²-x-2； （2）f（x）=x³-27x，
解：
（1）f′（x）=12x-1，令f′（x）=0，解得x=1/12，列表：

所以，當x=1/12時，f（x）有極小值f（1/12）=-49/24。
解：
（2）令f′（x）=3x²-27=0，解得x₁=3，x₂=-3列表：