課程內(nèi)容

《函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)》
一、復(fù)習(xí)與引入
（1）畫(huà)出下列函數(shù)的圖像，并根據(jù)圖象指出每個(gè)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
(1)y=1/x  (2)y=x²-2x-1    （3）y=3^x
（1）在（-∞，0）和（0，+∞）上分別是減函數(shù)。
但在定義域上不是減函數(shù)。
（2）在（-∞，1）上是減函數(shù)，在（1，+∞）上是增函數(shù)。
（3）在（-∞，+∞）上是增函數(shù)。
（2）函數(shù)單調(diào)性判定（定義法）
函數(shù)y=f(x)在給定區(qū)間G上，當(dāng)x₁，x₂∈G且x₁＜x²時(shí)
1）都有f（x₁）＜f（x₂），則f（x）在G上是增函數(shù)；
2）都有f（x₁）﹥f（x₂），則f（x）在G上是減函數(shù)；
（3）單調(diào)函數(shù)的圖象特征  G=（a，b）

若f（x）在G上是增函數(shù)或減函數(shù)，則f（x）在G上有單調(diào)性。G稱單調(diào)區(qū)間。
（4）注意
（1）函數(shù)的單調(diào)性是對(duì)某個(gè)區(qū)間而言的，它是個(gè)局部概念。這個(gè)區(qū)間是定義域的子區(qū)間。
（2）單調(diào)區(qū)間是針對(duì)自變量x而言的。
若函數(shù)在某區(qū)間上是增函數(shù)，則此區(qū)間為一個(gè)遞增區(qū)間；若函數(shù)在某區(qū)間上是減函數(shù)，則此區(qū)間為一個(gè)遞減區(qū)間。
以前，我們用定義來(lái)判斷函數(shù)的單調(diào)性，在假設(shè)x₁＜x₂的前提下，比較f（x₁）與（x₂）的大小，在函數(shù)y=f（x）比較復(fù)雜的情況下，比較f(x₁)與f（x₂）的大小并不很容易，如果利用導(dǎo)數(shù)來(lái)判斷函數(shù)的單調(diào)性就比較簡(jiǎn)單。
二、講授新課：
一般地，函數(shù)y=f（x）在某個(gè)區(qū)間（a，b）內(nèi)
1）如果恒有f′（x）﹥0，那么y=f（x）在這個(gè)區(qū)間（a，b）內(nèi)單調(diào)遞增；
2）如果恒有f′（x）＜0，那么y=f（x）在這個(gè)區(qū)間（a，b）內(nèi)單調(diào)遞減；
如果在某個(gè)區(qū)間內(nèi)恒有f′（x）=0，則f（x）為常數(shù)函數(shù)。

例1、確定函數(shù)f（x）=x²-4x-5 在哪個(gè)區(qū)間是減函數(shù)？在哪個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)？
解：（1）求函數(shù)的定義域
            函數(shù)f（x）的定義域是（-∞、+∞）
    （2）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=2x-4
    （3）f′﹥0以及 f′（x）＜0
求自變量x的取值范圍，也即函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。
令2x-4﹥0，解得x﹥2
∴x∈（2，+∞）時(shí)，f（x）是增函數(shù)
令2x-4＜0， 解得x＜2
∴x∈（-∞，2）時(shí)，f（x）是減函數(shù)。
利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)單調(diào)性的步驟
（1）求 y=f（x）的定義域D
（2）求導(dǎo)數(shù)f′（x）。
（3）解不等式組{f′（x）﹥0 得f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
                   x∈D
角不等式組｛f(x)＜0  得f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間。
            x∈D
說(shuō)明：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間必定是它的定義域的子集、故求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間一定首先要確定函數(shù)的定義域，
在求出使導(dǎo)數(shù)的值為正或負(fù)的x的范圍時(shí)，要與定義域取交集，注意結(jié)果一定要用區(qū)間表示。
例3：確定函數(shù)f（x）=x/2+sinx。
令1/2+cosx﹥0，解得2kπ-2π/3＜x＜2kπ+2π/3（k∈Z）
令1/2+cosx＜0，解得2kπ-2π/3＜x＜2kπ+4π/3（k∈Z）
因此，f（x）的遞增區(qū)間是2kπ-2π/3，2kπ+2π/3（k∈Z）
                減區(qū)間是2kπ-2π/3，2kπ+4π/3（k∈Z）