課程內(nèi)容

《不等式》

知識梳理
（一）不等式與不等關(guān)系
1.應(yīng)用不等式（組）表示不等關(guān)系；不等式的主要性質(zhì)：
（1）對稱性：a﹥b<=>b＜a
（2）傳遞性：a﹥b，b﹥c=>a﹥c
（3）加法法則：a﹥b=>a+c﹥b+c
               a﹥b，c﹥d=>a+c﹥b+d
（4）乘法法則：a﹥b，c﹥0=>ac﹥bc
               a﹥b，c＜0=>ac＜bc
               a﹥b﹥0,c﹥d﹥0=>ac﹥bd
（5）倒數(shù)法則：a﹥b，ab﹥0=>1/a>1/b
（6）乘法法則：a﹥b﹥0=>aⁿ﹥bⁿ（n∈N*且n>1）
（7）開方法則：a﹥b﹥0=>ⁿ√a﹥ⁿ√b（n∈N*且n>1）
（二）二元二次不等式及其解法
一元二次不等式ax²+bx+c﹥0或ax²+bx+c>0（a≠0）的解集：
設(shè)相應(yīng)的一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根為x₁x₂，且x₁≤x₂，△=b²-4ac,則不等式的解的各種情況如下表：

典型命題
1.比較大小
例1：（4）當(dāng)a﹥b﹥0時(shí)，log_1/2a  ＜  log_1/2b
     （5）（a+3）（a-2） ＜  （a+2）（a-4）
     （6）（x2+1）² ≥  x⁴+x²+1
2.利用不等式的性質(zhì)求取值范圍
例2 已知函數(shù)f（x）=ax2-c，滿足-4≤f（1）≤-1，-1≤f（2）≤5，那么f（3）的取值范圍是。
拓展，已知-1≤a+b≤5，-1≤a-b≤3，求3a-2b的取值范圍。
3.解一元二次不等式
解3.解關(guān)于x的不等式：（x-2）（ax-2）﹥0。
知識梳理
（一）線性規(guī)劃
1.用二元一次不等式（組）表示平面區(qū)域
    二元一次不等式Ax+By+C﹥0在平面直角坐標(biāo)系中，表示直線Ax+By+C=0某一側(cè)所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域。（虛線表示某音域不包括邊界直線）。
3.線性規(guī)劃的有關(guān)概念：
①線性約束條件：在上述問題中，不等式組是一組變量x、y的約束條件，這組約束條件都是關(guān)于x、y的一次不等式，故又稱線性約束條件。
②線性目標(biāo)函數(shù)：關(guān)于x、y的一次式：=2x+y是欲達(dá)到最大值或最小值所涉及的變量x、y的解析式，叫做線性目標(biāo)函數(shù)。
③線性規(guī)劃問題：一般地，求線性目標(biāo)函數(shù)在線性的約束條件下的最大的值或最小值的問題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題。
④可行解、可行域和最優(yōu)解：
滿足線性約束條件的解（x、y）叫可行解，
由所有可行解組成的集合叫做可行域，
使目標(biāo)函數(shù)取得最大或最小值的可行解叫線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解。
4.求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最優(yōu)解的步驟：
（1）尋找線性約束條件，線性目標(biāo)函數(shù)；
（2）由二元一次不等式表示的平面區(qū)域做出可行域；
（3）在可行域內(nèi)求目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解。
（二）基本不等式
   √ab≤（a+b）/2
（1）如果a、b是正數(shù)，那么（a+b）/2≥√ab（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號）；
（2）基本不等式√ab≤（a+b）/2的幾何意義是“半徑小于半弦”。
典型命題
1.求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最優(yōu)解。
例1已知x，y滿足不等式組：
x+2y≥2
2x+y≥1
x≥√0，y≥0
求z=3x+y的最小值。
2.利用基本不等式證明不等式
例2.求征（a²+b²）（c²+d²）≥（ac+bd）²。 
3.利用基本不等式求最值
例3.求f（x）=4x+9/（x-5）（x﹥5）的最小值。