課程內(nèi)容

《解三角形》
知識(shí)歸納
1.正弦定理
a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（其中R為△ABC外接圓的半徑）。
正弦定理的三種變形；
①a=2RsinA，b=2RsinB，c=2sinC；
②sinA=a/2R，sinB =b/2R，sinC=c/2R；
③a：b：c=sinA：sinB：sinC。
2.余弦定理
a²=b²+c²-2bccos，b²=a²+c²-2accosB；
c²=a²+b²-2abcosC或cosA=（b²+c²-a²）/2bc,
cosB=（a²+c²-b²）/2ac.cosC=（a²+b²-c²）/2ab。
余弦定理的有關(guān)問(wèn)題；
①勾股定理是余弦定理的特殊情況，在余弦定理表達(dá)式中分別令a，B，C為90°。上面關(guān)系式分別化為a²=b²+c²，b²=a²+c²,c²=a²+b²。
②在△ABC中，a²＜b²+c²<=>0°＜A＜90°。
a²﹥b²+c²=90°。
a²﹥b²+c²<=>90°＜A＜180°
3.三角形中的常見結(jié)論
（1）A+B+C=π
（2）在三角形中大邊對(duì)大角，大角對(duì)大邊。
（3）任意兩邊這和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊。
（4）有關(guān)三角形內(nèi)角函數(shù)關(guān)系式：
sin（A+B）=sinC；     cos（A+B）=-cosC；
cos（A+B）/2=sinC/2； tan（A+B）/2=catC/2。
（5）在△ABC中，tanA+tanB+tanC=tanA.tanB.tanC。
（6）△ABC的面積公式有：
①S=1/2a.h（h表示a邊上的離）；
②S=1/2absinC=1/2acsinB=1/2bcsinA=abc/4R；
③S=1/2r（a+b+c）（r為內(nèi)切圓半徑）。
④S=√P（P-a）（P-b）（P-c），其中P=1/2（a+b+c）。
（7）在△ABC中，A﹥B<=>a﹥b<=>sinA﹥sinB。
誤區(qū)警示
（1）在利用正弦定理解決已知三角形的兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形問(wèn)題時(shí)，可能出現(xiàn)一解、兩解或無(wú)解情況，應(yīng)熟練掌握其判斷方法。
（2）在判斷三角形的形狀時(shí)，一般將已知條件中的邊角關(guān)系利用正弦定理或余弦定理轉(zhuǎn)化為角角的關(guān)系或邊邊的關(guān)系，再用三角形變換或代數(shù)式的怛等變形（如因式分解、配方等）求解，注意等式兩邊的公因式不要約掉，要移項(xiàng)提取因式，否則會(huì)有漏掉一種形狀的可能。
4.方位角與方向角要區(qū)分，方位角是由指北方向順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的最小正角，方向角如西北、南偏西30°等。
4.一般地，由sinα﹥sinβ≠>α﹥?chǔ)隆?br> 例題一、解三角形
[例1]△ABC中，α=8，B=60°，C=75°，求b。
[解析]∵B=60°,C=75°∴A=45°
由正弦定理得α/sinA=b/sinB。
∴αsinB/sinA=8×sin60°/sin45°=4√6。
[例2]在銳角△ABC中，a、b、c分別為角A、B、C所對(duì)的邊，又c=√21，b=4，且BC邊上的離h=2√3。
（1）求角C
（2）求α
[解析]△ABC為銳角三角形，過(guò)A作AD⊥BC于D點(diǎn)，
sinC=（2√3）/4=√3/2，則C=60°。
又由余弦定理可知
（√21）²=4²+a2-2.4.a.1/2。
即a2-4a-5=0，∴a=5或a=-1（舍去）
因此所求角C=60°，a連長(zhǎng)為5。
二、判斷三角形的形狀。
根據(jù)所給條件確定三角形的形狀，主要有兩條途徑；
（1）化邊為角；（2）化角為邊。
常見具體方法有：
①通過(guò)正弦定理實(shí)施邊角轉(zhuǎn)換；
②通過(guò)余弦定理實(shí)施邊角轉(zhuǎn)換；
③通過(guò)三角變換找出角之間的關(guān)系；
④通過(guò)三角函數(shù)值符號(hào)的判斷及正、余弦函數(shù)有界性的討論；另外要注意b²+c²-a²>0<=>A為銳角，b²+c²-a²=0<=>A為直角，b²+c²-a²<0<=>A為鈍角。
[例3]已知方程x2-（bcosA）x+acosB=0的兩根之積等于兩根之和，且a，b為△ABC的兩邊，A、B為兩內(nèi)角，試判定這個(gè)三角形的形狀。
[解析]方法一：設(shè)方程的兩根為x₁,x₂,由韋達(dá)定理知x₁+x₂=bcosA.x₁，x₂=acosB,
由題意得bcosA=acosB,根據(jù)余弦定理得
b.（b²+c²-a²）/2bc=a.（a²+c²-b²）/2ac。
∴b²+c²-a²=a²+c²-b²,
化簡(jiǎn)得a=b，∴△ABC為等腰三角形。
方法二：同方法一得bcosA =acosB,
由正弦定理得：2RsinBcosA=2RsinAcosB,
∴sinAcosB-cosAsinB=0，即sin（A-B）=0，
∵0＜A＜π，0＜B＜π，∴-π＜A-B＜π。
∴A-B=0，即A=B，故△ABC為等腰三角形。
三、三角形的的應(yīng)用
解三角形應(yīng)用題常見的幾種情況：
（1）實(shí)際問(wèn)題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量全部集中在一個(gè)三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解。
（2）實(shí)際問(wèn)題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量涉及到兩個(gè)（或兩個(gè)以上）三角形，這里需要作出這些三角形，先解夠條件的三角形，然后逐步求出其它三角形中的解，有時(shí)需設(shè)出未知量，從幾個(gè)三角形列出方程，解方程得出所要的解。
常見問(wèn)題型有：測(cè)量距離高度問(wèn)題，測(cè)量角度問(wèn)題，計(jì)算面積問(wèn)題、航海問(wèn)題、物理問(wèn)題等。
例4，我艦在敵島A南偏西50°，相距12海量的B處，發(fā)現(xiàn)敵艦正由島沿北偏西10°的方向以10海里/小時(shí)的速度航行，問(wèn)我艦需以多大速度、沿什么方向航行才能用2小時(shí)追上敵艦？
解：如圖，在ΔABC中由余弦定理得；
BC²=AC²+AB²-2.AB.AC.cos∠BAC
=20²+12²-2×12×20×（-1/2）=784
∴BC=28
∴我艦的追擊速度為14海里/小時(shí)。
又在ΔABC中由正弦定理得：
AC/sinB=BC/sinA    故sinB=ACsinB/BC=（5√3）/14
∴B=38°  50°-38°=12°
四、命題的知識(shí)交匯點(diǎn)
解三角形常和三角形恒等變換、平面向量、函數(shù)最值結(jié)合命題
[例5]在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別中a、b、c若sin2B+sinC2=sin2A+sinBsinC，且（→，AC）.（→，AB）=4，求△ABC的面積S。
[解析]由已知得b²+c²=a²+bc
∴bc=b²+c²-a²=2bccosA,∴cosA=1/2,sin=√3/2。
由（→，AC）.（→，AB）=4，得bccosA=4，∴bc=8
∴S=1/2bcsinA=2√3。