課程內(nèi)容

《雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)》
一、復(fù)習(xí)回顧
1、雙曲線的定義
平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)（小于∣F₁F₂∣）的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線，這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫做雙曲線的焦距。即∣∣MF₁∣-∣MF₂∣∣=2a，（2a＜2c）
2、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：


x²/a²-y²/b²=1（a﹥0，b﹥0）  y²/a²-x²/b²=1（a﹥0，b﹥0）。
3、前面我們學(xué)習(xí)了橢圓的哪些幾何性質(zhì)？
你能類比探究出雙曲線的幾何性質(zhì)嗎？

一、研究雙曲線x²/a²-y²/b²=1（a﹥0，b﹥0）的笑意幾何性質(zhì)
1、范圍
因?yàn)閤²/a²≥1，x²≥a²
∴x≥a，x≤-a
2、對(duì)稱性
關(guān)于X軸，Y軸和原點(diǎn)都是對(duì)稱。
X軸、Y軸是雙曲線的對(duì)稱軸，原點(diǎn)是對(duì)稱中心，叫做雙曲線的中心
3、頂點(diǎn)
（1）雙曲線與對(duì)稱軸的交點(diǎn)，叫做雙曲線的頂點(diǎn)。
頂點(diǎn)是A₁（-a，0）、A₂（a，0）
（2）線段A₁B₂叫做雙曲線的實(shí)軸，
線段B₁B₂叫做雙曲線的虛軸。
實(shí)軸的長(zhǎng)為2a，虛軸的長(zhǎng)為2b；
a稱為半實(shí)軸的長(zhǎng)，b稱為半虛軸的長(zhǎng)；
（3）實(shí)軸與虛軸等長(zhǎng)的雙曲線叫等軸雙曲線。
x²-y²=m（m≠0）
4、漸近線
（1）雙曲線x²/a²-y²/b²=1（a﹥0，b﹥0）的漸近線為y=±（b/a）x
（2）等軸雙曲線x²-y²=m（m≠0）的漸近線為y=±x
雙曲線的漸近線
規(guī)定：直線y=±（b/a）x叫做雙曲線x²/a²-y²/b²=1的漸近線。
思考：①雙曲線x²/a²-y²/b²=1的漸近線方程是什么？y=±（a/b）x
②兩種雙曲線的漸近線方程，怎么統(tǒng)一記憶？
x²/a²-y²/b²=1    x²/a²-y²/b²=0    y=±（b/a）x
y²/a²-x²/b²=1    y²/a²-x²/b²=0    y=±（a/b）x
3、雙曲線的畫法
①定頂點(diǎn)
②畫矩形
③畫漸近線
5、離以率
（1）定義：雙曲線的焦距與實(shí)軸長(zhǎng)的比e=c/a，叫做雙曲線的離以率。
（2）e的范圍：因?yàn)閏﹥a﹥0 ∴e﹥0
（3）e的含義：b/a=（√c²-a²）/a=√(c/a)²-1=√e²-1
∴當(dāng)e∈（1+∞）時(shí)，b/a∈（1+∞），且e增大，b/a也增大。 e增大時(shí)，漸近線與實(shí)軸的夾角增大。
e是表示雙曲線開口大小的一個(gè)量，e越林開口越大。