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《相似三角形的性質(zhì)》
研究三個三角形相似的判定問題，除了上述方法個，還可以通過與三角形全等的判定進(jìn)行類比，得出有關(guān)猜想，例如，類比“三邊對應(yīng)相等，兩三角形全等”，可以猜想：“三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似”。
判定定理3 對于任意兩個三角形，如果一個三角形的三邊和另一個三角形的三邊對應(yīng)成比例，那么這兩個三角形相似，簡述為：三邊對應(yīng)成比例兩三角形相似。
已知圖1-25在△ABC和△A'B'C'中
A'B'/AB=B'C'/BC=C'A'/CA
求證：△A'B'C'∽△ABC
證明：在△ABC的邊AB（或延長線）上截取AD=A'B'，過點(diǎn)D作DE∥BC，交AC于點(diǎn)E，于是可得
AD/AB=DE/BC=AE/AC，△ADE∽ABC，因?yàn)锳D=A'B'，所以AD/AB=A'B'/AB又因?yàn)锳'B'/AB=B'C'/BC=C'A'/CA，所以DE/BC=B'C'/BC，EA/CA=C'A'/CA，則DE=B'C'，EA=C'A'，故△ADE≌△A'B'C'，
因此△A'B'C'∽△ABC
例1如圖1-26，已知D、E、F是△ABC三邊BC、CA、AB的中點(diǎn)，求證△DEF∽△ABC
證明：因?yàn)榫€段EF、FD、DE是△ABC的中位線
所以EF=1/2BC，F(xiàn)D=1/2CA，DE=1/2AB，從而得EF/BC=FD/CA=DE/AB=1/2，則△DEF與△ABC的三邊對應(yīng)成比例，故△DEF∽△ABC。
我們知道，與一般三角形相比，直角三角形有一個角為直角，三邊長滿足勾股定理等特殊的邊角關(guān)系這種關(guān)系，可以使判定兩個直角三角形相似的條件得到簡化，例如我們有
定理（1）如果兩個直角有一個銳角對應(yīng)相等，那么它們相似。
（2）如果兩個直角形有一個銳角對應(yīng)相等，那么它們相似；
此外與直角三角形全等的判定定理燈比，可引出直角三角形相似的另一個判定理。
定理 如果一個直角的斜邊和一條直角邊與另一個三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例，那么這兩個三角形相似。
已知如圖1-27Rt△ABC與Rt△A'B'C'中∠C=∠C'=90，AB/A'B'=AC/A'C'
求證：Rt△ABC∽Rt△A'B'C'
證明：由已知，可設(shè)AB/A'B/=AC/A'C'=k
那么AB=kA'C'，AC=kA'C'
所以BC=AB-AC=k(A'B'-A'C')=kB'C'，
即BC=kB'C'，所以±B/A'B/=AC/A'C'=BC/B'C'=k
由判定定理3得Rt△ABC∽Rt△A'B'C'
例5 如圖1-28，已知AD，BE分別是△ABC中BC邊和AC邊上的高。H是AD、BE的交點(diǎn)
求證：（1）AD.BC=BE.AC
（2）AH.HD=BH.HE
證明：（1）在Rt△ADC和Rt△BEC中，因?yàn)椤螦CD=∠BCE，所以Rt△ADC∽Rt△BECAD/BE=AC/BC，即AD.BC=BE=AC
（2）在Rt△AHE和Rt△BHD中，因?yàn)椤螦HE=∠BHD,
所以Rt△AHE∽Rt△BHD，AH/BH=HE/HD，即AH.HD=BH.HE。
2、相似三角形的性質(zhì)
我們知道，相似三角形的判定，討論的是具備哪些條件。才能有兩個三角形相似，相似三角形的性質(zhì)討論的則是在兩個構(gòu)型相似的條件，可以得出哪些結(jié)論，一般地，我們可以在兩個三角形相似的條件下，考察與三角形相關(guān)的元素，如果兩個三角形的高，周長、角平分線，中線、面積等所具有的關(guān)系。
可以發(fā)現(xiàn)下列相似三角形的性質(zhì)定理
（1）相似三角形對應(yīng)高的比、對應(yīng)中線的比和對應(yīng)角平分線的比都等于相似比；
（2）相似三角形周長的比等于相似比；
（3）相似三角形面積的比等于相似比。
證明（1）如圖1-29，△ABC∽△A'B'C'，設(shè)相似比為k，AD、A'D'分別是△ABC和△A'B'C對應(yīng)邊上的高因?yàn)椤鰽BC∽△A'B'C'，所以∠B=∠B'，又因?yàn)椤螦DB=A'D'B=90，
所以△ABD∽A'B'D'，
因此AD/A'D=AB/A'D'=k
例6 如果1-30，銳角三角形ABC是一塊鋼板余料，邊BC=24cm，BC邊上的高AD=12cm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個頂點(diǎn)分別在AB，AC上求這個正方形零件的邊長。
解 正方形PQMN為加工成的正方形零件，邊QM在BC上，頂點(diǎn)P、N、分別在AB、AC上，△ABC的高與邊PN相交于點(diǎn)E設(shè)正方形的邊長為xcm。
因?yàn)镻N∥BC，所以△APN∽△ABC，
則AE/AD=PN/BC，即12-x/12=s/24,解得=8（cm）
思考 由相似三角形的性質(zhì)定理可知相似三角形的高、中線、內(nèi)角平分線，周長、面積等，要素與相似比有關(guān)，拓寬思路，考慮與三角形有關(guān)，但不在三角形內(nèi)的其他元素，這些元素是否與三角形的相似比有聯(lián)系，你想互了那些元素。
問題1 兩個相似三角形的外接的直徑比，周長比、面積比與相似比有什么關(guān)系？
探究 如圖1-31（1）、(2),△ABC∽△A'B'C'，AD、A'D'分別是△ABC和△A'B'C'外接的直徑連接BD、B'D'，則∠ABD=∠A'B'C'=90
因?yàn)椤鰽BC∽△A'B'C'，所以∠C=∠C'而∠D=∠C，∠D'=∠C'
所以∠D=∠D'
故△ABD∽A'B'D'
相似三角形外接的直徑比，周長比等于相似比外接圓的面積比等于相似比有平方。
問題2 兩個相似三角形的內(nèi)切圓的直徑比、周長比、面積比與相似比有什么關(guān)系？請同學(xué)們自己探究。