課程內(nèi)容

《相似三角形的判定》
先回顧初中已學(xué)的相似三角形知識
定義：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形，相似三角形對應(yīng)邊的比值叫做相似比（或相似系數(shù)）
由于從定義出發(fā)判斷兩個(gè)三角形是否相似，需要考慮6個(gè)元素，即三級對應(yīng)角是否分別相等，三能對應(yīng)邊是否分別成比例，顯然比較麻煩所以我們曾經(jīng)給出過如下幾個(gè)判定兩個(gè)三角形相似的簡單方法。
（1）兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似。
（2）兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似。
（3）三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似。
下面對這些判定方法進(jìn)行嚴(yán)格證明
如圖1-16在△ABC中，D分別是AB、AC邊上的點(diǎn)，且DE∥BC由上一節(jié)的例3可知，△ADE和△ABC對應(yīng)邊成比例又由DE∥BC可得，∠ADE=∠B，∠AED=C，而∠A公共角，因此△ADE∽△ABC，探究，如果D、E的延長線上，且DE∥BC（圖1-17）那么結(jié)論是否還成立？
對于圖1-17的情形，同樣可以證明△ADE∽ABC這是判定兩個(gè)三角形相似的一個(gè)定理，我們把它稱為預(yù)備定理。

預(yù)定定理
平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。
下面從預(yù)備定理出發(fā)，看看能否得出一些新的結(jié)論。
可以發(fā)現(xiàn)只要DE∥BC，無論D、E在AB、AC邊上什么位置，都有△ADE∽△ABC，如圖1-18，如果D1E1∥BC（ⅰ=1.2……）那么也有△ABC∽AD1E1（ⅰ=1.2……）從運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)過程中，△ADE的邊長改變，南昌角的大小始終不變，這說明，只要兩個(gè)三角形的三個(gè)對應(yīng)角相等，那么它們就相似，又由于三角形的內(nèi)角和為180度，所以只要兩個(gè)三角形中有兩個(gè)對應(yīng)角相等，那么第三個(gè)對應(yīng)角一定相等，這樣就有“兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似”。

一般地，我們有
判定定理1 對于任意兩個(gè)三角形，如果一個(gè)三角開的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似簡述為：兩個(gè)角對應(yīng)相等，兩三角形相似。
已知，如圖1-19，在△ABC和△A'B'C'中，∠A=A'，∠B=B'
求證：△ABC∽△A'B'C'
證明：在△ABC的邊AB（或AB的延長線）上，截取AD=A'B'，邊D作DE∥BC，交AC于點(diǎn)E，由預(yù)備定理得△ADE∽△ABC，
因?yàn)椤螦DE=∠B，∠B=B'，所以∠ADE=B'，
又因?yàn)椤螦 =A',AD=A'B',所以△ADE≌△A'B'C'，
因此△ABC=△A'B'C'
例1 如圖1-20，在△ABC中，AB=Ac，D是AC邊上一點(diǎn)BD=BC
求證 BC=AC.CD
分析，要證明BC=AC.CD，即證明AC/BC=BC/CD，只要證明AC、BC和BC、CD為一對相似三角形的兩組對應(yīng)邊，即可為此，要證明△ABC和△BDC相似，
證明，因?yàn)椤鰽BC是等腰三角形，所以∠A=180-2∠C,
因?yàn)椤鰾CD也是等腰三角形，所以∠=180-2∠C，
則∠A=∠DBC，又因?yàn)椤螩是公共角，故△ABC∽△BDC，
因此，AC/BC=BC/CD，即BC=AC.CD。
例2 如圖1-21，圓內(nèi)接△ABC的角平分線CD延長后交圓于點(diǎn)E，求證EB/EC=DB/CB
分析，要證EB/EC=DB/CB，應(yīng)考慮EB、EC、DB、CB這四條線段所在的兩個(gè)三角形是否相似EB、EC在△EBD中，DB、CB在△ECB中，因此可以考慮證明△EBD與△ECB相似
證明：由已知，可得∠ACE=∠BCE，因此∠ACE與∠ABE是同弧上的圓周角，故∠ACE=∠ABE，則∠BCE=∠ABE，
又因?yàn)椤螧ED=∠CEB，故△EBD∽△ECB，因此EB/EC=DB/CB。
判定定理2 對于用意兩個(gè)三角形，如果一個(gè)三角形的兩邊和一個(gè)三角形的兩邊對應(yīng)成比例，并且夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似，簡述為：兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似。
已知：如圖1-22，在△ABC和△A'B'C'中，∠A=A'，A'B'/AB=A'C'/AC
求證：△ABC∽△A'B'C'
由平行線分線段成比例定理的推理可知，當(dāng)DE∥BC時(shí)，有AD/AB=AE/AC，因而，我們猜想這個(gè)推理的逆命題可能是成立的，這樣，我們需要先證明下面命題
引理 如果殊不知直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應(yīng)線段成比例，那么，這條直線平行于三角形第三邊。
已知，如圖△ABC中，D、E分別在AB，AC上，且AD/AB=AE/AC
求證：DE∥BC
證明：過D作直線DE∥BC，交AC于點(diǎn)E，則AD/AB=AE/AC（為什么？）
因?yàn)锳D/AB=AE/AC，所以AE/AC=AE/AC，則AE=AE'。
因此，點(diǎn)E與點(diǎn)E'重合，即直線DE與直線DE重合。所以DE∥BC。
在探究數(shù)學(xué)問題過程中，應(yīng)當(dāng)做到”步步有據(jù)“有時(shí)，為了尋找某個(gè)步驟的推理依據(jù)，往往會產(chǎn)生一個(gè)原問題的輔助問題，數(shù)學(xué)家把這種輔助問題稱為引理，顯然，引理的證明為解決問題奠定了基礎(chǔ)。
當(dāng)直接證明一個(gè)問題比較困難時(shí)，往往采用間接的方法上述引理的證明采用的“同一法”，就是一種間接證明方法，應(yīng)用同一法證明問題時(shí)，往往先作出一個(gè)滿足命題結(jié)論的圖形，然后證明符合命題已知條件，確定所作圖形與題設(shè)條件所指的圖形相同。
例3，如圖1-24，在△ABC內(nèi)任取一個(gè)點(diǎn)D，連接AD和BD點(diǎn)E在△ABC外，∠EBC=∠ABD=∠DAB
求證：△DBE∽△ABC
證明：在△DBE與△ABC中，∠DBE+∠CBD，∠ABC=∠ABD+∠DBC，因?yàn)椤螦BD=∠ABD+∠DBC，因?yàn)椤螦BD=∠EBC，
所以∠DBE=∠ABC……（1）在△ABD與△CBE中，由已知條件有∠EBC=∠ABD=∠DAB，所以△ABD∽△CBE。
則BE/BD=BC/AB,即BE/BC=BD/AB……（2）
綜合（1）（2）式，由判定定理2知△DBE∽△ABC