課程內(nèi)容

《平行線等分線段定理》
在初中，我們已經(jīng)在平面幾何中討論過平行的一些性質(zhì)和判定的問題，例如，如果兩條直線同時平行于第三條直線，那么這兩條直線互相平行；同位角相等，兩直線平行，內(nèi)錯角相等……下面我們繼續(xù)研究平行線的性質(zhì)。
研究平行線的性質(zhì)，就是在已知一組直線平行條件下，探究可以推出哪些結(jié)論，例如，一組平行線被另一組平行的或非平行的直線，，所得到的圖形具有哪些性質(zhì)？
觀察如圖1-2三條直線l1、l2、l2滿足l1∥l2,直線l2∥l3且分別與l1、l2、l3相交于A1、A2、A3和B1、B2、B2當(dāng)A1A2=A2A3時，觀察圖形，長測線段B1B2、B2B3的長度，它們有什么關(guān)系？如果l與l不平行上述關(guān)系還成立嗎？
已知l1∥l2∥l3,直線l、l1與l1、l1、l2分別將于A1、A2、A3和B1、B2、B3，如果A1A2=A2A3,那么B1B2=B2B3
證明（1）如圖1-2，當(dāng)l∥l時∵l1∥l2∥l3
∴四邊形A1B2B3A2是平行四邊形，
∵A1A2= B1B2
同理可證A2A3= B2B3
∵A1A2=A2A3∴B1B2=B2B3
（2）當(dāng)l與l1不平行時，如圖1-4，過B1作B1C2∥A1A2，交l于C2過B2作B2C2//A2A3，交L于C同（1）的證明方法可得BC=BC，考察△BCB和△BCB
∵B2C2∥B3C3（為什么？），∴∠C1B1B2=∠C2B2B3
又∵∠B1B2C1=∠B2B3C2，B2C1=B3C2,
∴△BCB≌△BCB,∴B1B2=B2B3于是，我們有
平行線等分線段定理，如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在其他直線上截得的線段也相等。
將圖1-4中的直線L1平移，使L1與L相交于A（圖1-5），考察△A1A2B2，因為A1A2=A2A3，所以根據(jù)平行線等分線段定理可得AB=BB

于是有
推論1 經(jīng)過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線必平分第三邊。
探究，考察圖1-4中的梯形A2A3B3B2，你能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？
推理2 經(jīng)過梯形一腰的中點且與底邊平行的直線必平分另一腰。
例1 如圖1-7，D、E分別是△ABC中AB邊和AC邊的中點求證：DE∥BC且DE=1/2BC
這是我們嘗過的三角形中位線定理下面我們用平行線等分線段定理證明它。
證明過D作DE∥BC，根據(jù)推理1，E1為AC的中點，故E與E1重合，即DE∥BC，兩樣，過D作DF∥AC，交BC于F，則BF=FC
∵DE∥FC，DE∥EC，
∴四邊形DECE是平行四邊形，
∴DE=FC，
又因為FC=1/2BC，所以DE=1/2BC
一個數(shù)學(xué)命題的發(fā)現(xiàn)往往來自于對特例的觀察和概括，因為在特例中，其命題的各種信息會更加明顯，容易被人們捕捉，從而更容易發(fā)現(xiàn)條件與結(jié)論的內(nèi)在聯(lián)系，將問題特殊化，通過特殊現(xiàn)象而得出一般的猜想或者通過解決特例而獲得解決一般問題的思想方法的啟示，這是數(shù)學(xué)研究中常用的方法請同學(xué)回顧平行線等分線段定理的概括過程，從中體會從特殊到一般的思想方法。