課程內(nèi)容

《點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系》
知識(shí)網(wǎng)絡(luò)
1.平面的基本性質(zhì)
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名稱   圖示       文字表示                  符號(hào)表示
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公理              如果一條直線上的         A∈ι，B∈ι，
                  兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)         且A∈α，
                  ，那么這條直線在此       B∈α =>ιCα  
                  平面內(nèi)
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線在面內(nèi)的依據(jù)
2.空間兩直線的位置關(guān)系
（1）共面直線：相交直線：同一半面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)：
              平行直線：同一半面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn)：
    異面直線：不同在任何一半面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn)。
（2）平行公理
公理4：平行于同一直線的兩條直線互相平行——空間平行線的傳遞性。
（3）等角定理
空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)。
（4）異面直線所成的角
①定義：設(shè)α，b是兩條異面直線，經(jīng)過(guò)空間任意一點(diǎn)O作直線α'∥α，b'∥b。把α'與b'所成的銳角（或直角）叫做異面直線α與b所成的角（或夾角）。
②范圍：（0，π/2]
3.直線與平面的位置關(guān)系
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位置關(guān)系            圖示     符號(hào)表示       公共點(diǎn)個(gè)數(shù)
直線ι在平面α內(nèi)                ιCα             無(wú)數(shù)個(gè)
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直線ι與平面α相交              ιCα=A           一個(gè)
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直線ι與平面α平行              ι∥α            0個(gè)
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4.平面與平面的位置關(guān)系
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位置關(guān)系       圖示   符號(hào)表示       公共點(diǎn)個(gè)數(shù)
兩平面平行            α∥B           0個(gè)
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兩平面相交           α∩β= ι    無(wú)數(shù)個(gè)（這些公共點(diǎn)均在交線ι上）
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5.線面的平行關(guān)系
線線平行=> 線面平行=> 面面平行
線線平行<= 線面平行<= 面面平行
6.線面的垂直關(guān)系
線線垂直=> 線面垂直=> 面面垂直
線線垂直<= 線面垂直<= 面面垂直
例題講解
一、平面的性質(zhì)
1.以下四個(gè)命題中，正確命題的個(gè)數(shù)是（）
①不共面的四個(gè)點(diǎn)中，其中任意三點(diǎn)不共線；
②若點(diǎn)A、B、C、D共面，點(diǎn)A、B、C、E共面，則點(diǎn)A、B、C、D、E共面；
③若直線a、b、共面，直線a、c共面，則直線b、c共面；
④首尾依次相接的四條線段必共面。
A.0      B.1
C.2      D.3
2.一條直線與兩條異面直線中的一條平行，則它和另一條的位置關(guān)系是（）
A.平行或異面     B.相交或異面
C.異面           D.相交
二、異面直線所成角的計(jì)算
例、如圖，三棱椎P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC=60°，PA=AB=AC=2，E是PC的中點(diǎn)。
（1）求異面直線AE和PE所成角的余弦值。
（2）求三棱椎A(chǔ)-PBC的體積。
解：（1）取BC的中點(diǎn)F，連續(xù)EF、AF，則EF∥PB，所以∠AEF（或其補(bǔ)角）就是異面直線AE和PB所成角。
∵∠BAC＝60°，PA＝AB＝AC＝2，PA⊥平面ABC。
∴AF＝3，AE＝2，EF＝2；
cos∠AEF＝（2+2-3）/（2×2×2）＝1/4，所以異面直線AE和PB所成角的余弦值為1/4。
（2）因?yàn)镋是PC中點(diǎn)，所以E到平面ABC的距離為1/2PA＝1，V_A-EBC＝V_E-ABC＝1/3×（1/2×2×2×（-，3）/2）×1＝（-，3）/3。
三、直線與平面平行的性質(zhì)與判定
例、如右圖所示，已知P、Q是單位正方形ABCD—A₁B₁C₁D₁的面A₁B₁AB和面ABCD的中心。
求證：PQ∥平面BCC₁B₁。
證：如右圖②，連續(xù)AB₁，B₁C，
∵△AB₁C中，PQ分別是AB₁和AC的中點(diǎn)，∴PQ∥B₁C。
又PQ￠平面BCCB₁,BC C平面BCC₁B₁,
∴PQ∥平面BCC₁B₁。
另證：取AB的中點(diǎn)M，連續(xù)PM，QM，證明平面PQM∥平面BCC₁B₁。
6、直線與平面的垂直
例，如右圖，在矩形ABCD中，AB=3 BC=3，沿對(duì)角線BD把ΔBCD折起，使C移到C'，且C'在面ABD內(nèi)的射影O恰好落在AB上。
（1）求證：AD⊥BC'；
（2）求證：平面DBC'⊥平面ABC'。
證明：（1）由題意知，C'O⊥平面ABD。
∵C'O C平面ABC’，∴平面ABC'⊥平面ABD。
又∵AD⊥AB，平面ABC'∩平面ABD=AB，
∴AD⊥平面ABC'，∴AD⊥BC'。