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高中數(shù)學(xué)第二章2.1《曲線與方程》
一、曲線方程關(guān)系舉例：
位于第一、三象限的角平分線的方程是x-y=0.即：如果點(diǎn)M（x₀，y₀）是這條直線上的任意一點(diǎn)，它到兩坐標(biāo)軸的距離一定相等，從而x₀=y₀，那么它的坐標(biāo)（x₀，y₀）是方程x-y=0的解；反之，如果（x₀，y₀）是方程x-y=0的解，即x₀=y₀，那么以這個(gè)解為坐標(biāo)的點(diǎn)到兩軸的距離相等，它一定在這條平分線上（如右圖）

函數(shù)y=ax²的圖象是關(guān)于y軸對(duì)稱的拋物線，這條拋物線是所有以方程y=ax²的解為坐標(biāo)的點(diǎn)組成的。這就是說(shuō)，如果M（x₀，y₀）是拋物線上的點(diǎn)，那么（x₀，y_0）一定是這個(gè)方程的解；反過(guò)來(lái)，如果（x₀，y₀）是方程的解，那么以它為坐標(biāo)的點(diǎn)一定在這條拋物線上。（如右圖）
二、曲線與方程概念：
一般地，在直角坐標(biāo)系中，如果某曲線C（看作適合某條件的點(diǎn)的軌跡）上的點(diǎn)與一個(gè)二元函數(shù)f（x，y）=0的實(shí)數(shù)解建立了如下關(guān)系；
1、曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解；
2、方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的。
那么，這個(gè)方程叫做曲線的方程，這條曲線叫做方程的曲線。
如何判斷一個(gè)點(diǎn)是否在已知曲線上呢？
注意：由曲線的方程的定義可知，如果曲線C的方程是f（x,y）=0，那么點(diǎn)P（x,y）在曲線C上的充要條件是f（x₀，y₀）=0.
練一練
證明：圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑等于5的圓的方程是x²+y²=25，并判斷點(diǎn)M（3,4）、（-2√5,2）是否在這個(gè)圓上。
證明：（1）設(shè)M（x₀，y₀）是圓上任意一點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)M到原點(diǎn)的距離等于5，所有√（x₀²+y₀²）=5,也就是x₀²+y₀²=25
即（x₀，y₀）是方程x²+y²=25的解。
（2）設(shè)（x₀，y₀）是方程（x₀，y₀）的解，那么x₀²+y₀²=25   ∴√（x₀²+y₀²）=5
即點(diǎn)M（x₀，y₀）到原點(diǎn)的距離等于5，點(diǎn)M（x₀，y₀）是這個(gè)圓上的點(diǎn)。
由（1）（2）可知，x₀²+y₀²=25是以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，半徑為5的圓的方程。
把點(diǎn)M₁（3，-4）是方程的解，所以點(diǎn)M₁在這個(gè)圓上；
把點(diǎn)M₂（-2√5，2）的坐標(biāo)代入方程x²+y²=25，左右兩邊不等，（-2√5，2）不是方程的解，所以點(diǎn)M₂不在這個(gè)圓上。
練一練
（1）判斷A（2,3）B（-1，2√2）C（-2+3cosθ，3sinθ）三點(diǎn)是否在方程x²+y²+4x-5=0的曲線上？
（2）已知方程mx²+ny²-4=0的曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，-2）B（-2,1），則m=____,n=____.
解析幾何有兩類問(wèn)題：
一是利用曲線求方程；
二是利用方程研究曲線的性質(zhì)。
其中最基本的方法是坐標(biāo)法。
那么：如何求曲線（點(diǎn)的軌跡）方程？
點(diǎn)M→→按某種規(guī)律運(yùn)動(dòng)（幾何意義）→→曲線C   
坐標(biāo)（x,y）→→x,y的制約條件（代數(shù)意義）→→方程f（x,y）=0  
求曲線方程的實(shí)質(zhì)是將產(chǎn)生曲線的幾何條件逐步轉(zhuǎn)化為含動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)的代數(shù)方程的過(guò)程
例1：一直一條曲線在x軸的上方，它上面的點(diǎn)到A（0,2）的距離減去它到x軸的距離的差都是2，求次曲線方程？
解：設(shè)（x,y）為曲線上的任意一點(diǎn)，MB⊥x軸，垂足為B。

∵M(jìn)在x軸的上方，|MA|-|MB|=2
∴√(（x-2)²+(y-2)²)-|y|=2且y>0
∴√(（x-2)²+(y-2)²)=y+2（y>0）
(（x-2)²+(y-2)²)=（y+2）²（y>0）
∴y=x²/8(x≠0)
例2、點(diǎn)M與兩條相互垂直的直線的距離的積是常數(shù)k（k>0），求點(diǎn)M軌跡方程。
解：已知的兩條垂直直線為坐標(biāo)系，建立直角坐標(biāo)系。
設(shè)點(diǎn)M（x,y）是滿足題設(shè)條件的軌跡上的任意一點(diǎn)，則P=｛M/|MR||MQ|=k｝,其中Q,R分別是點(diǎn)M到x軸，y軸的垂線的垂足
所以   |x||y=k  即  xy=±k
證明：（1）由求解過(guò)程知，曲線上的坐標(biāo)都是方程的解。
（2）設(shè)M₁（x₁，y₁）是方程xy=±k的解，則x₁y₁=±k即x₁y₁=k 而|x_1||y₁|是點(diǎn)M到x軸的距離。
所以M₁（x₁，y₁）到這兩條直線的距離之積是常數(shù)k即以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)在曲線上
由（1）（2）知方程xy=±k是所求軌跡方程。
例2、點(diǎn)M與兩條相互垂直的直線的距離的積是常數(shù)k（k>0），求點(diǎn)M的軌跡方程。

小結(jié)：求曲線的（軌跡）方程的“五步法”
1）建系設(shè)點(diǎn)：建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，用（x，y）表示曲線上的任意一點(diǎn)
2）列式：找出曲線上的點(diǎn)所滿足的幾何關(guān)系式。
3）代換：用（x,y）來(lái)表示點(diǎn)的幾何關(guān)系式。
4）化簡(jiǎn)：化簡(jiǎn)所得方程為最簡(jiǎn)形式。
5）證明（一般簡(jiǎn)化為檢查）。
審查所求的方程中有無(wú)多（或少）的特殊點(diǎn)。
例3、Rt△ABC中，A、B為兩定點(diǎn)|AB|=2a（a>0）以AB所在直線為x軸，AB的垂直平分線為y軸建立如圖所示的坐標(biāo)系，求直角頂點(diǎn)C的軌跡方程。

分析：求軌跡方程時(shí)，要充分挖掘圖片的幾何性質(zhì)，尋找形成曲線的條件所包含的等量關(guān)系。
解：設(shè)點(diǎn)C（x,y）
由題意知A（-a,0）,B(a,0)
法1：因?yàn)椤鰽BC三點(diǎn)構(gòu)成Rt三角形
∴|AB|²=|BC|²+|AC|²
即：（2a）²=（√（x-a）²+y²）²+(√（x+a）²+y²)²
x²+y²=a²
因?yàn)锳、B、C三點(diǎn)構(gòu)成三角形
故三點(diǎn)不共線，點(diǎn)C的縱坐標(biāo)y≠0
∴x≠±a，即直角頂點(diǎn)C的軌跡方程為
x²+y²=a²（x≠±a）
法2：因?yàn)锽C⊥CA
∴
k_BC·k_BC=-1
∴y/(x+a)·y/(x-a)=-1即x²+y²=a²
由A、B、C三點(diǎn)不共線，
∴x≠±a，即直角頂點(diǎn)C的軌跡方程為
x²+y²=a²（x≠±a）
法3：連結(jié)OC
因?yàn)閨OA|=|OB|  BC⊥CA
∴|OC|=1/2|AB|=a
∴√（x²+y²）=a
x²+y²=a²
因?yàn)锳、B、C三點(diǎn)構(gòu)成三角形
x²+y²=a²（x≠±a）
法4：如圖設(shè)C（x,y）
因?yàn)椋ā?，CB）⊥（→，CA）∴（→，CB）·（→，CA）=0
（a-x,-y）·（-a-x,-y）=0
∴x²+y²=a²（x≠±a）
因?yàn)锳、B、C三點(diǎn)構(gòu)成三角形
∴x=±a，即直角頂點(diǎn)C的軌跡方程為
x²+y²=a²（x≠±a）
例題小結(jié)：
1、求出軌跡方程后，應(yīng)考察曲線的完備性和純粹性，以防“疏漏”和“不純”。主要注意：
（1）圖形中有無(wú)特殊的限制；
（2）相應(yīng)的公式有無(wú)范圍限制；
（3）審查化簡(jiǎn)變形時(shí)的等價(jià)性；
2、審題時(shí)要仁政“識(shí)圖”，聯(lián)想與圖形相關(guān)的定理，并對(duì)幾何條件的代數(shù)化方法作取舍而優(yōu)選。如例2切入點(diǎn)很多，不同的方法繁簡(jiǎn)大不相同。