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《等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)及其應(yīng)用》
練習(xí):
1、若一個等差數(shù)列前3項和為34,最后三項和為146,且所有項的和為390,則這個數(shù)列共有_______項。
2、已知兩個等差數(shù)列{an}{bn},它們的前n項和分別是Sn,Tn,若Sn/Tn=(2n+3)/(3n-1),求a9/b9。
等差數(shù)列的前n項和性質(zhì):
1、已知{an}是公差為d的等差數(shù)列,若b1=a1+a2+…+ak,b2=ak+1+ak+2+…+a2k,b3=a2k+1+a2k+2+…+a3k,…,
則:b1,b2,b3,…,成等差數(shù)列,公差為kd。
(等差數(shù)列等分若干段后,各段和依序成等差數(shù)列。)
數(shù)列{an}是公差為d的等差數(shù)列,則Sn=An2+Bn → Sn/n=An+B → {Sn/n}是等差數(shù)列,公差為A。
2、已知{an}是公差為d的等差數(shù)列,Sn為數(shù)列{an}的前n項和,則{Sn/n}是等差數(shù)列,公差為d/2。
等差數(shù)列的前n項和的最值問題:
例1:在等差數(shù)列{an}中,a1=-60,a17=-12,
(1)該數(shù)列第幾項開始為正?
(2)前多少項和最小,并求其最小值?
(3)求{an}前n項和Sn?
(4)求{|an|}前n項和Tn?
對等差數(shù)列前n項和的最值問題有兩種方法:
(1)利用an:
當a1>0,d<0,前n項和有最大值(可由an≥0,且an+1≤0,求得n的值)。
當a1<0,d>0,前n項和有最小值(可由an≤0,且an+1≥0,求得n的值)。
(2)利用Sn:由Sn=(d/2)n2+(a1-d/2)n二次函數(shù)配方法求得最值時n的值。
例2:已知等差數(shù)列{an}中,Sn為前n項和,a3=12,且S12>0,S13<0。
(1)求公差d的取值范圍。
(2)前幾項和最大?并說明理由。
等差數(shù)列奇數(shù)項、偶數(shù)項和問題
結(jié)論:設(shè)數(shù)列{an}是等差數(shù)列,且公差為d,
(Ⅰ)若項數(shù)為偶數(shù),設(shè)共有2n項,則①S偶-S奇=nd;②S奇/S偶=an/an+1;
結(jié)論:設(shè)數(shù)列{an}是等差數(shù)列,且公差為d,
(Ⅱ)若項數(shù)為偶數(shù),設(shè)共有2n+1項,則①S奇-S偶=an+1=a中;②S奇/S偶=(n+1)/n。
例3:在等差數(shù)列{an}中,前m項(m為奇數(shù)且m大于1)和為77,其中偶數(shù)項和為33,且a1-am=18,求這個數(shù)列的通項公式。
例4:已知等差數(shù)列{an}的項數(shù)為偶數(shù),且奇數(shù)的和為24,偶數(shù)項的和為30,最后一項與首項之差為10.5,求此數(shù)列的首項,公差及項數(shù)。
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王老師
男,中教高級職稱
中學(xué)數(shù)學(xué)高級教師,長期從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)工作。具有豐富的教學(xué)經(jīng)驗和扎實的理論專業(yè)知識。