課程內(nèi)容

《等差數(shù)列的前n項(xiàng)和》
復(fù)習(xí)：
1、等差數(shù)列的定義：
   {a_n}是等差數(shù)列←→a_n-a_n-1=d（n≥2）
2、通項(xiàng)公式：a_n=a₁+（n-1）d
3、重要性質(zhì)：a_n=a_m+（n-m）d
問題1：求S=1+2+3+…+100=？
問題2：如圖，是一堆鋼管，自上而下每層鋼管數(shù)為4、5、6、7、8、9、10，求鋼管總數(shù)。
問題3：設(shè)等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，即S_n=a₁+a₂+…+a_n，怎樣求一般等差數(shù)列的前n項(xiàng)和呢？
等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：
公式1：S_n=n（a₁+a_n）/2
公式2：S_n=na₁+n（n-1）d/2
思考：
（1）兩個求和公式有何異同點(diǎn)？
（2）在等差數(shù)列{a_n}中，如果已知五個元素中a₁、a_n、n、d、S_n的任意三個，請問：能否求出其余兩個量？
結(jié)論：知三求二
公式記憶——類比梯形面積公式記憶
等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的函數(shù)特征：
    S_n=na₁+（1/2）n（n-1）d=dn2/2+（a₁-d/2）n
設(shè)A=d/2，B=a₁-d/2，則S_n=An²+Bn（A，B是常數(shù)）
特征：當(dāng)A≠0（即d≠0時），S_n是關(guān)于n的二次函數(shù)式，即S_n=An²+Bn的圖象是拋物線y=Ax²+Bx上的一群孤立的點(diǎn)。
思考：數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=An²+Bn（A，B是常數(shù)），則數(shù)列{a_n}是不是一定要是等差數(shù)列？
結(jié)論：{a_n}是公差為2A的等差數(shù)列←→S_n=An²+Bn（A，B是常數(shù)）
問：如果一個數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=pn²+qn+r（其中p，q，r為常數(shù)，且p≠0），那么這個數(shù)列一定是等差數(shù)列嗎？
結(jié)論：如果一個數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和Sn=pn²+qn+r（其中p，q，r為常數(shù)，且p≠0），那么這個數(shù)列是等差數(shù)列當(dāng)且僅當(dāng)r=0。
例1：計(jì)算
（1）1+2+3+…+n；
（2）1+3+5+…+（2n-1）；
（3）2+4+6+…+2n；
（4）1-2+3-4+5-6+…+（2n-1）-2n。
例2：等差數(shù)列-10，-6，-2，2…前多少項(xiàng)的和時54？
例3：數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，若a₁+a₂+a₃=12，a₈+a₉+a₁₀=75。求S₁₀。
例4：在等差數(shù)列{a_n}中，已知a₂+a₅+a₁₂+a₁₅=36，求S₁₆。