課程內(nèi)容

《正弦、余弦定理應(yīng)用舉例（1）》
一、預(yù)備知識(shí)
1、復(fù)習(xí)正弦定理和余弦定理
（1）正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（其中R為外接圓的半徑）
（2）余弦定理 a²=b²+c²-2abcosA
              b²=a²+c²-2abcosB
              c²=a²+b²-2abcosC
2、利用三角形解應(yīng)用題中的有關(guān)名詞、術(shù)語：
（1）坡度：斜面與地平面所成的角度。
（2）仰角和俯角：在視線和水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，視線在水平線下方的角叫俯角。
（3）方位角：從正北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向的水平角。
（4）視角：由物體兩端射出的兩條光線在眼球內(nèi)交叉而成的角。
（5）基線：在測(cè)量中，我們根據(jù)測(cè)量需要適當(dāng)確定的線段叫基線。
3、解三角形應(yīng)用題的一般步驟是：
（1）分析：理解題意，畫出示意圖
（2）建模：把已知量與求解量集中在一個(gè)三角形中
（3）求解：運(yùn)用正弦定理和余弦定理，有順序地解這些三角形，求得數(shù)學(xué)模型的解。
（4）檢驗(yàn)：檢驗(yàn)所求的解是否符合實(shí)際意義，從而得出實(shí)際問題的解。
實(shí)際問題→數(shù)學(xué)問題（三角形）→數(shù)學(xué)問題的解（解三角形）→實(shí)際問題的解
應(yīng)用1：測(cè)量距離
例1：設(shè)A、B兩點(diǎn)在河的兩岸，要測(cè)量?jī)牲c(diǎn)之間的距離。
測(cè)量者在A的同側(cè)，在所在的河岸邊選定一點(diǎn)C，測(cè)出AC的距離是55m，∠BAC=51°，∠ACB=75°，求A、B兩點(diǎn)間的距離（精確到0.1m）。
例2：A、B兩點(diǎn)都在河的對(duì)岸（不可到達(dá)），設(shè)計(jì)一種測(cè)量?jī)牲c(diǎn)間的距離的方法。
變式訓(xùn)練：若在河岸選取相距40米的C、D兩點(diǎn)，測(cè)得∠BCA=60°，∠ACD=30°，∠CDB=45°，∠BDA=60°，求A、B兩點(diǎn)間距離。
練習(xí)1：一艘船以32.2n mile/h的速度向正北航行。在A處看燈塔S在船的北偏東20°的方向，30min后航行到B處，在B處看燈塔在船的北偏東65°的方向，已知距離此燈塔6.5n mile以外的海區(qū)為航行安全區(qū)域，這艘船可以繼續(xù)沿正北方向航行嗎？
應(yīng)用2：測(cè)量高度
例3：AB是底部B不可到達(dá)的一個(gè)建筑物，A為建筑物的最高點(diǎn)，設(shè)計(jì)一種測(cè)量建筑物高度AB的方法。
例4：如圖，在山頂鐵塔上B處測(cè)得地面上一點(diǎn)A的俯角α=54°40′，在塔底C處測(cè)得A處的俯角β=50°1′。已知鐵塔BC部分的高為27.3m，求出山高CD（精確到m）。
練習(xí)2：如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時(shí)測(cè)得公路北側(cè)遠(yuǎn)處一山頂D在西偏北15°的方向上，行駛5km后到達(dá)B處，測(cè)得此山頂在西偏北25°的方向上，仰角為8°，求此山的高度CD。