課程內(nèi)容

《余弦定理》
例如：在△ABC中，已知邊a，邊b及角C，如何求邊c呢？
如果角C是直角，那么可以用勾股定理求邊c的長。如果角C不是直角，那么是否可以構(gòu)造直角三角形來求邊c的長呢？
如圖，在△ABC中不論∠C是銳角還是鈍角，都有AD=bsinC，BD=a-bcosC。
在Rt△ADB中，運(yùn)用勾股定理，得
c²=AD²+BD²=b²sin²C+(a-bcosC)²
  =a²+b²-2abcosC
同理可得：
b²=a²+c²-2abcosB
a²=b²+c²-2abcosA
余弦定理：
    三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍。即：
a²=b²+c²-2abcosA
b²=a²+c²-2abcosB
c²=a²+b²-2abcosC
可以用向量來研究這個(gè)問題。
還可以用解析法來證明余弦定理：
如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在的直線為x軸，建立坐標(biāo)系：
則A（0,0），B（c,0），C（bcosA,bsinA）
|BC|²=a²=(c-bcosA)²+(0-bsinA)²=b²+c²-2bccosA
應(yīng)用1：求三角形中的邊與角
例1：如圖，在△ABC中，已知a=5，b=4，∠C=120°，求c。
例2：如圖，△ABC的頂點(diǎn)為A（6,5），B（-2,8）和C（4,1），求∠A。
例3：在△ABC中，
（1）若sin²A=sin²B+sin²C+sinBsinC，求∠A。
（2）若sinA:sinB:sinC=（√3-1）:（√3-1）:10，求最大的內(nèi)角。
應(yīng)用2：證明恒等式或判斷三角形的形狀
例4：求證：在△ABC中，a=bcosC+ccosB，b=ccosA+acosC，c=acosB+bcosA。
例5：在△ABC中，若b²sin²C+c²sin²B=2bc·cosBcosC，試判斷三角形的形狀。
總結(jié)：
解三角形問題可以分為4種類型。已知兩角與一邊、兩邊與一邊對(duì)角、兩邊與其夾角、三邊，求其余邊或角。
常用結(jié)論：
（1）A+B+C=π
（2）sin(A+B)=sinC
（3）cos(A+B)=-cosC
（4）sin(A+B)/2=cosC/2
（5）a ＜b←→A＜B←→sinA＜sinB