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《幾類不同增長(zhǎng)函數(shù)的模型》
例1：假設(shè)你有一筆資金用于投資，現(xiàn)有三種投資方案供你選擇，這三種方案的回報(bào)如下：
方案一：每天回報(bào)40元；
方案二：第一天回報(bào)10元，以后每天比前一天多回報(bào)10元；
方案三：第一天回報(bào)0.4元，以后每天的回報(bào)比前一天翻一番。
請(qǐng)問，你會(huì)選擇哪種投資方案？
問題：在例1中，涉及哪些數(shù)量關(guān)系？如何用函數(shù)描述這些數(shù)量關(guān)系？
分析：先建立三種方案所對(duì)應(yīng)的函數(shù)模型，方案一：y=40，y=10x，y=0.4×2^（x-1）。通過比較它們的增長(zhǎng)情況，為選擇投資方案提供依據(jù)。
下面利用圖象從整體上把握不同函數(shù)模型的增長(zhǎng)：

結(jié)論：投資8天以下，應(yīng)選擇第一種投資方案；投資8-10天，應(yīng)選擇第二種投資方案；投資11天，應(yīng)選擇第三種投資方案。
例2：某公司為了實(shí)現(xiàn)1000萬元利潤(rùn)的目標(biāo)，準(zhǔn)備制定一個(gè)激勵(lì)銷售部門的獎(jiǎng)勵(lì)方案；在銷售利潤(rùn)達(dá)到10萬元時(shí)，按銷售利潤(rùn)進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，且獎(jiǎng)金y（單位：萬元）隨銷售利潤(rùn)x（單位：萬元）的增加而增加，但獎(jiǎng)金總數(shù)不超過5萬元，同時(shí)獎(jiǎng)金不超過利潤(rùn)的25%?，F(xiàn)有三個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)模型：
y=0.25x，y=log₇x+1，y=1.002^x，其中哪個(gè)模型能符合公司的要求？
函數(shù)圖象：

從以上兩個(gè)例子，我們看到對(duì)數(shù)函數(shù)，指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)在第一區(qū)間的增長(zhǎng)是有差異的。
例3：探究函數(shù)y=2^x，y=x²，y=log₂x的增長(zhǎng)情況并分析差異。
結(jié)論1：
一般地，對(duì)于指數(shù)函數(shù)y=a^x（a>1）和冪函數(shù)y=xⁿ（n>0），通過探索可以發(fā)現(xiàn)：在區(qū)間（0，+∞）上，無論n比a大多少，盡管在x的一定范圍內(nèi)，a^x會(huì)小xⁿ，但由于a^x的增長(zhǎng)快于xⁿ的增長(zhǎng)，因此總存在一個(gè)x₀，當(dāng)x>x₀時(shí)，就會(huì)有a^x>xⁿ。
結(jié)論2：
一般地，對(duì)于對(duì)數(shù)函數(shù)y=log_ax（a>1）和冪函數(shù)y=xⁿ（n>0），通過探索可以發(fā)現(xiàn)：在區(qū)間（0，+∞）上，隨著x的增大，log_ax增大得越來越慢，圖象就像是漸漸地與x軸平行一樣。盡管在x的一定范圍內(nèi)，log_ax可能會(huì)大xⁿ，但由于log_ax的增長(zhǎng)慢于xⁿ的增長(zhǎng)，因此總存在一個(gè)x₀，當(dāng)x>x₀時(shí)，就會(huì)有l(wèi)og_axn。
綜上所述：
（1）在區(qū)間（0，+∞）上，y=a^x（a>1），y=log_ax（a>1）和y=xⁿ（n>0）都是增函數(shù)。
（2）隨著x的增大，y=a^x（a>1）的增長(zhǎng)速度越來越快，會(huì)遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于y=xⁿ（n>0）的增長(zhǎng)速度。
（3）隨著x的增大，y=log_ax（a>1）的增長(zhǎng)速度越來越慢，會(huì)遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于y=xⁿ（n>0）的增長(zhǎng)速度。