課程內(nèi)容:
《平面向量數(shù)量積(2)》
教學(xué)目標(biāo):
1.掌握平面向量數(shù)量積及運(yùn)算律;
2.能利用數(shù)量積的5個(gè)重要性質(zhì)及數(shù)量積運(yùn)算律解決有關(guān)問題;
3.掌握兩個(gè)向量共線、垂直的幾何判斷,會(huì)證明兩向量垂直,以及能解決一些簡(jiǎn)單問題。
教學(xué)重點(diǎn):平面向量積及運(yùn)算律。
教學(xué)難點(diǎn):平面向量數(shù)量積的應(yīng)用。
復(fù)習(xí)引入:
1.平面向量的數(shù)量積(內(nèi)積)的定義:
已知兩個(gè)非零向量和,它們的夾角為θ,我們把數(shù)量││││cosθ叫做與的數(shù)量積(或內(nèi)積)。
記為:·,即·=││││cosθ
規(guī)定:零向量與任一向量的數(shù)量積為0,即·=0。
2.兩個(gè)向量的數(shù)量積的性質(zhì):
設(shè)、為兩個(gè)非零向量,是與同向的單位向量。
(1)·=·=││cosθ
(2)⊥←→·=0
(3)當(dāng)與同向時(shí),·=││││
當(dāng)與反向時(shí),·=-││││
特別地,·=││2或││=√·
(4)cosθ=·/││││
(5)│·│≤││││
探究:
已知兩個(gè)非零向量=(x1,y1),=(x2,y2)怎樣用和的坐標(biāo)表示,?
1.平面兩向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示:
兩個(gè)向量的數(shù)量積等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和。
·=x1x2+y1y2
2.平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式:
(1)設(shè)=(x,y),則││2=x2+y2 或││=√x2+y2
(2)如果表示向量的有向線段的起點(diǎn)和終邊的坐標(biāo)分別為(x1,y1)、(x2,y2)那么:
││=(平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式)
3.向量垂直的判定:
設(shè)=(x1,y1),=(x2,y2)則 ⊥←→x1x2·y1y2=0
4.兩向量夾角的余弦:(0≤θ≤π)
cosθ=·/││││=
例1.已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5),試判斷△ABC的形狀,并給出證明。
例2.在△ABC中,=(2,3),=(1,k),且△ABC的一個(gè)內(nèi)角為直角,求k值。
例3.已知=(1,√3),=(√3+1,√3-1),則與的夾角是多少?求與垂直的單位向量的坐標(biāo)是多少?
例4.已知A(3,2),B(-1,-1),若點(diǎn)P(x,-1/2)在線段AB的中垂線上,則x=____。
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朱老師
男,中教高級(jí)職稱
對(duì)高中數(shù)學(xué)的基本概念和整體知識(shí)結(jié)構(gòu)有清晰地把握,從高考的高度分析講解各大知識(shí)板塊。