課程內(nèi)容

《平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示（2）》
教學(xué)目標(biāo)：
（1）理解平面向量的坐標(biāo)的概念；
（2）掌握平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算；
（3）掌握中點(diǎn)坐標(biāo)公式；
（4）會根據(jù)向量的坐標(biāo)，判斷向量是否共線。
教學(xué)重點(diǎn)：
平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算。
教學(xué)難點(diǎn)：
向量的坐標(biāo)表示的理解及運(yùn)算的準(zhǔn)確性.
復(fù)習(xí)引入
平面向量基本定理：
如果（→，e₁），（→，e₂），是同一平面內(nèi)兩個不共線的向量，那么對這一平面內(nèi)任意一個向量（→，a），有且只有一對實(shí)數(shù)γ₁，γ₂，使（→，a）=γ₁（→，e₁）+γ₂(→，e₂).
（1）我們把不共線向量（→，e₁），（→，e₂）叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底。
（2）基底不唯一，關(guān)鍵是不共線；
（3）由定理可將任一向量（→，a）在給出基底（→，e₁），（→，e₂）的條件下進(jìn)行分解；
（4）基底給定時，分解形式唯一，γ₁、γ2是被（→，a）、（→，e₁），（→，e₂）唯一確定的數(shù)量。
平面向量的坐標(biāo)表示
在平面坐標(biāo)系內(nèi)，我們分別取與x軸、y軸方向相等的兩個單位向量（→，i）、（→、j）作為基底，任何一個向量（→，a），由平面向量基本定理可知，有且只有一對實(shí)數(shù)x、y，使得（→，a）=x（→，i）y（→，j）
我們把（x,y）叫做向量（→，a）的（直角）坐標(biāo)，記作（→，a）=(x,y).其中x叫做（→，a）在x軸上的坐標(biāo)，特別地，（→，i）=（1,0），（→，j）=（0,1），（→，0）=（0，0）.
思考1：
已知（→，a）=（x₁，y₁），（→，b）=（x₂，y₂），你能得出（→，a）+（→，b），（→，a）-（→，b），γ（→，a）的坐標(biāo)嗎？
兩個向量和與差的坐標(biāo)分別等于這兩個向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差。
實(shí)數(shù)與向量的積得坐標(biāo)等于用這個實(shí)數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標(biāo)。
思考2：
已知A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），怎樣求（→，AB）的坐標(biāo)？


一個向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去始點(diǎn)的坐標(biāo)。
講解范例：
例1.已知（→，a）=（2,1），（→，b）=（-3,4），求（→，a）+（→，b），（→，a）-（→，b），3（→，a）+4（→，b）的坐標(biāo)。
例2.已知平面上三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（-2,1）B（-1,3）C（3,4），求點(diǎn)D的坐標(biāo)使這四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形的四個頂點(diǎn)。
例3:
1、若M（3，-2），N（-5，-1）且（→，MP）=1/2（→，MN），求P點(diǎn)的坐標(biāo)。
2、若A（0,1），B（1,2），C（3,4），則（→，AB）-2（→，BC）=______.
3、已知四點(diǎn)A（5,1），B（3,4），C（1,3），D（5，-3），求證：四邊形ABCD是梯形。
思考3：
1、兩個向量共線的條件是什么？
2、如何用坐標(biāo)表示兩個共線向量？
推導(dǎo)過程：
設(shè)（→，a）=（x₁，y₁），（→，b）=（x₂，y₂），其中b≠0.
由（→，a）=γ（→，b）得：（x₁，y₁）=γ（x₂，y₂）
x₁=γx₂
y₁=γy₂消去γ：x₁y₂-x₂y₁=0.
（→，a）與（→，b）共線（→，b）≠（→，0）
當(dāng)且僅當(dāng)x₁y₂-x₂y₁=0時。
例4.已知（→，a）=(4,2)，（→，b）=（6，y），且（→，a）//（→，b），求y.
例5.已知A（-1，-1），B（1,3），C（2,5），試判斷A、B、C三點(diǎn)之間的位置關(guān)系。
例6.若向量（→，a）=(-1,x)與（→，b）=（-x，2）共線且方向相同，求x.
例7.設(shè)點(diǎn)P是線段P₁P₂上的一點(diǎn)，P₁、P₂的坐標(biāo)分別是（x₁，y₁），（x₂，y₂）。
當(dāng)點(diǎn)P是線段P₁P₂的中點(diǎn)時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
思考：（1）P₁P：PP₂=？
（2）如果題目中P₁P：PP₂=1:2呢？若P₁P：PP₂=γ如何求點(diǎn)P的坐標(biāo)？