課程內(nèi)容

《平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示（1）》
教學(xué)目標(biāo)
（1）了解平面向量基本定理；理解平面向量的坐標(biāo)的概念；
（2）理解平面里的任何一個(gè)向量都可以用兩個(gè)不共線的向量來表示，初步掌握應(yīng)用向量解決實(shí)際問題的重要思想方法；
（3）能夠在具體問題中適當(dāng)?shù)剡x取基底，使其他向量能夠用基底來表達(dá)。
教學(xué)重點(diǎn)：
平面向量基本定理。
教學(xué)難點(diǎn)：
平面向量基本定理的理解與應(yīng)用。
向量的坐標(biāo)表示的理解及運(yùn)算的準(zhǔn)確性。
復(fù)習(xí)引入
如圖，有非零向量向量，則與共線的條件是什么？

向量與非零向量共線條件是：
有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使=λ.
思考：
給定平面內(nèi)兩個(gè)向量（→，e₁），（→，e₂），請(qǐng)你作出向量3（→，e₁）+2（→，e₂），（→，e₁）-2（→，e₂）.
平面向量基本定理：
觀察如圖三個(gè)不共線向量（→，e₁）、(→，a)、（→，e₂），它們之間會(huì)有怎樣的關(guān)系呢？
將三個(gè)向量的起點(diǎn)移到同一點(diǎn)：

歸納：
根據(jù)向量共線的條件，存在唯一的一對(duì)實(shí)數(shù)γ₁，γ₂使得：（→，OM）=γ₁（→，e₁)，（→，ON）=γ₂（→，e₂)故（→，a）=γ₁（→，e₁)+γ₂（→，e₂).
 
想一想：
確定一對(duì)不共線向量（→，e₁)，（→，e₂)后，是否平面內(nèi)任意一個(gè)向量都可以用γ₁（→，e₁)+γ₂（→，e₂)來表示呢？
平面向量基本定理：
如果（→，e₁)，（→，e₂)是同一個(gè)平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，那么對(duì)這一平面內(nèi)任意一個(gè)向量（→，a），有且只有一對(duì)實(shí)γ₁，γ₂數(shù)，使（→，a）=γ₁（→，e₁)+γ₂（→，e₂).
其中（→，e₁)，（→，e₂)叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底。
問題一：
在剛才我們總結(jié)的定理中，基底（→，e₁)，（→，e₂)是不是唯一的呢？
問題二：
給定基底（→，e₁)，（→，e₂)之后，任意一個(gè)向量（→，a）的表示是不是唯一的呢？
定理的應(yīng)用：
例1.如圖，已知向量（→，e₁）、（→，e₂），求作向量（→，a），使（→，a）=-2（→，e₁）+3（→，e₂）解：。

例2：如圖，（→，OA）、（→，OB）不共線，且（→，AP）且（→，AP）=t（→，AB）（t∈R），用（→，OA），（→，OB）表示（→，OP）.
本體的實(shí)質(zhì)是：
已知O、A、B三點(diǎn)不共線，若點(diǎn)P在直線AB上，則（→，OP）=m（→，OA）+n（→，OB），且m+n=1.
向量的夾角：
已知兩個(gè)非零向量（→，a）、（→，b），作（→，OA）=（→，a），（→，OB）=（→，b），則∠AOB=θ，叫向量（→，a）、（→，b）的夾角.
當(dāng)θ=0°，（→，a）、（→，b）同向；
當(dāng)θ=180°，（→，a）、（→，b）反向；
當(dāng)θ=90°，（→，a）、（→，b）垂直，記作（→，a）⊥（→，b）.
平面向量的坐標(biāo)表示
在平面坐標(biāo)系內(nèi)，我們分別取與x軸、y軸方向相等的兩個(gè)單位向量（→，i），（→，j）作為基底，由平面向量基本定理可知，對(duì)任何一向量（→，a），有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x、y使得（→，a）=x（→，i）+y（→，j）.
我們把（x，y）叫做向量（→，a）的直角坐標(biāo)，記作（→，a）=（x，y）.其中x叫做（→，a）在x軸上的坐標(biāo)x，y叫做（→，a）在y軸上的坐標(biāo)，（→，a）=（x，y）叫做向量（→，a）的坐標(biāo)表示。
平面向量的坐標(biāo)表示
（1）如圖，若|（→，i）|=|（→，j）|=1，以向量（→，i）、（→，j）為基底表示向量（→，a）.
（→，a）=2（→，i）+3（→，j）即（→，a）=（2，3）
（2）如圖，平面內(nèi)有A、B兩點(diǎn)，能否用坐標(biāo)來表示向量（→，AB）呢？
（→，AB）=（→，OB）-（→，0A）
=（4（→，i）+4（→，j））-2（（→，i）+1（→，j））
=（4-2）（→，i）+（4-1）（→，j）=2（→，i）+3（→，j）即：（→，AB）=（2,3）

應(yīng)用：
例3.如圖，用基底（→，i）(→，j)分別表示向量（→，a）、（→，b）、（→，c）、（→，d），并求出他們的坐標(biāo).