課程內(nèi)容

《數(shù)列求和》
復(fù)習(xí)1：若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和記為sn，
即Sn=a₁+a₂+a₃+…+an-1+a_n
∴當(dāng)n≥2時(shí)，有a_n=S_n-S_n-1
練習(xí)：
數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和Sn=an2-3n+1，
（1）數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列嗎？
（2）a₄=？
（3）a₄+a₅+a₆+…+a₁₀=______
復(fù)習(xí)2：等差數(shù)列的求和公式和等比數(shù)列的求和公式
復(fù)習(xí)3：本書(shū)是如何推導(dǎo)等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式：
①（等差數(shù)列）倒序相加
②（等比數(shù)列）錯(cuò)位相減
1、等差、等比數(shù)列：公式法
典例1：
（1）1+3+5+…+（2n-1）=______。
（2）1+1/2+1/2²+1/2³+…1/2ⁿ=_______。
落實(shí)兩方面：
（1）看通項(xiàng)，是什么數(shù)列，用哪個(gè)公式
（2）注意項(xiàng)數(shù)
典例2：已知lg（xy）=2，S=lgxⁿ+lg（x^n-1·y）+…+lg（x¹·y^n-1）+lgyⁿ，（x＞0，y＞0），求S。
二、倒序相加法
如果一個(gè)數(shù)列{a_n}，與首末兩項(xiàng)等距的兩項(xiàng)之和等于首末兩項(xiàng)之和（都相等，為定值），可采用把正著寫(xiě)和與倒著寫(xiě)和的兩個(gè)和式相加，就得到一個(gè)常數(shù)列的和，這一求和的方法稱(chēng)為倒序相加法。
3、錯(cuò)位相減
當(dāng){a_n}是等差數(shù)列，{b_n}是等比數(shù)列，求數(shù)列{a_nb_n}的前n項(xiàng)和適用錯(cuò)位相減。
典例3：
1+2×3+3×3²+4×3³+…+n×3^n-1=？
練習(xí)2：求和S=1+2x+3x²+…+nx^n-1（x≠0）
練習(xí)3:1，30，500，7000，…求滿(mǎn)足前四項(xiàng)數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和的公式。
三、錯(cuò)位相減法
如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)乘積組成，此時(shí)求和可采用錯(cuò)位相減法。
4、裂項(xiàng)相消
典例4：
1+1/1×2+1/2×3+…+1/n（n+1）=？
四、分裂通項(xiàng)法：
把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，即數(shù)列的每一項(xiàng)都可按此法拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)一些正負(fù)項(xiàng)相互抵消，于是前n項(xiàng)的和變成首尾若干少數(shù)項(xiàng)之和，這一求和方法稱(chēng)為分裂通項(xiàng)法。（見(jiàn)到分式星的要往這種方法聯(lián)想）
5、拆項(xiàng)分組求和
典例5：數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)a_n=2ⁿ+2n-1，求該數(shù)列的前n項(xiàng)和。
五、分組求和法：
把數(shù)列的每一項(xiàng)分成兩項(xiàng)，或把數(shù)列的項(xiàng)“集”在一塊重新組合，或把整個(gè)數(shù)列分成兩部分，使其轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列，這一求和方法稱(chēng)為分組求和法。