課程內(nèi)容

《等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用》
復(fù)習(xí)：
1、已知a₁，n，q，則
S_n=na₁， （q=1）
S_n=a₁·（1-qⁿ）/（1-q），（q≠1）
已知a₁，a_n，q，則
S_n=na₁， （q=1）
S_n=（a₁-a_nq）/（1-q），（q≠1）
2、對(duì)含字母的題目一般要分別考慮q=1和q≠1兩種情況。
例1：在等比數(shù)列{a_n}中，公比為q，其前n項(xiàng)和為S_n，若數(shù)列{S_n}是等差數(shù)列，求公比q。
一、等差數(shù)列性質(zhì)回顧
等差數(shù)列的性質(zhì)：設(shè)有等差數(shù)列{an}公差為d，前n項(xiàng)和為Sn
1、若m，n，p，q∈N*，m+n=p+q，則a_m+a_n=a_p+a_q
2、數(shù)列{S_n/n}也是等差數(shù)列，公差d/2
3、數(shù)列S_k，S_2k-S_k，S_3k-S_2k，……也成等差數(shù)列，公差為k²d
4、若項(xiàng)數(shù)為2n（n≥2，n∈N），S_偶-S_奇=nd
若項(xiàng)數(shù)為2n+1（n≥2，n∈N），S_奇/S_偶=（n+1）/n
二、等比數(shù)列的性質(zhì)
等比數(shù)列的性質(zhì)：設(shè)有等比數(shù)列{a_n}公比為q，前n項(xiàng)和為S_n。
1、若m，n，p，r∈N^*，m+n=p+r，則a_ma_n=a_pa_r
2、數(shù)列Sk，S_2k-S_k，S_3k-S_2k，……如果不是常數(shù)列{0}，也成等比數(shù)列，公比為q^k。
3、若項(xiàng)數(shù)為2n（n≥2，n∈N），S_偶/S_奇=q
4、{λa_n}（λ≠0），{|a_n|}分別是等比數(shù)列，公比分別為q和|q|。
5、若{a_n}和{b_n}分別是公比為q和p的等比數(shù)列，則數(shù)列{a_n·b_n}，{a_n/b_n}仍是等比數(shù)列，它們的公比分別是pq，q/p。
6、當(dāng)a₁＞0，q＞0或a₁＜0，0＜q＜1時(shí)為遞增數(shù)列；當(dāng)a₁＞0，0＜q＜1或a₁＜0，q＞0時(shí)為遞減數(shù)列；當(dāng)q=1時(shí)為常數(shù)列，當(dāng)q＜0時(shí)為擺動(dòng)數(shù)列。
典型例題
例1：在等比數(shù)列{a_n}中，已知a₇·a₁₂=5，則a₈·a₉·a₁₀·a₁₁等于（   ）
     A、10     B、25     C、50     D、75
例2：已知等比數(shù)列{a_n}的前三項(xiàng)和為168，a₂-a₅=42，求a₅與a₇的等比中項(xiàng)。
例3：已知某等差數(shù)列的第1,2,4項(xiàng)成等比數(shù)列，求證該數(shù)列的第4,6,9項(xiàng)也成等比數(shù)列。
例4：在8/3和27/2之間插入三個(gè)數(shù)，使這5個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，求插入的這三個(gè)數(shù)的乘積。
練習(xí)
1、已知一個(gè)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為12，前2n項(xiàng)和為48，求其前3n項(xiàng)和。
2、在等比數(shù)列{a_n}中，若a₁·a₂·a₃……a₉₉=2⁹⁹，求a₅₀。
3、已知一個(gè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為1，項(xiàng)數(shù)是偶數(shù)，其奇數(shù)項(xiàng)之和為85，偶數(shù)項(xiàng)之和為170，則這個(gè)數(shù)列的公比為（  ），項(xiàng)數(shù)n=（  ）。