課程內(nèi)容

《冪函數(shù)》
問(wèn)題引入：我們先看幾個(gè)具體問(wèn)題：
（1）如果張紅購(gòu)買(mǎi)了每千克1元的蔬菜w千克，那么她需要支付p=______元。
（2）如果正方形的邊長(zhǎng)為a，那么正方形的面積S=______。
（3）如果立方體的邊長(zhǎng)為a，那么立方體的體積V=______。
（4）如果一個(gè)正方形場(chǎng)地的面積為S，那么這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)a=______。
（5）如果人t s內(nèi)騎車(chē)行進(jìn)了1km，那么他騎車(chē)的平均速度V=______km/s。
若將它們的自變量全部用x來(lái)表示，函數(shù)值用y來(lái)表述，則它們的函數(shù)關(guān)系式將是什么，分別寫(xiě)出來(lái)。
定義：一般地，函數(shù)y=x^a叫做冪函數(shù)，其中x是自變量，a是常量。
幾點(diǎn)說(shuō)明：
1、對(duì)于冪函數(shù)，我們只討論a=1,2,3,1/2,-1時(shí)的情形。
2、冪函數(shù)不像指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)，其定義域隨a的不同而不同。
冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的對(duì)比
式子              a      x      y
指數(shù)函數(shù)：y=a^x  底數(shù)   指數(shù)   冪值
 冪函數(shù)：y=x^a   指數(shù)   底數(shù)   冪值
判斷一個(gè)函數(shù)是冪函數(shù)還是指數(shù)函數(shù)切入點(diǎn)：
    看看未知數(shù)x是指數(shù)還是底數(shù)。
例1：判斷下列函數(shù)是否為冪函數(shù)。
（1）y=x⁴       （4）y=x^1/2
（2）y=1/x²     （5）y=2x²
（3）y=-x²      （6）y=x³+2
1、冪函數(shù)的解析式必須是y=xk的形式，其特征可歸納為“兩個(gè)1”：系數(shù)為1，只有1項(xiàng)。
2、定義域與k的值有關(guān)系。
作出下列函數(shù)的圖象：
y=x²   y=x³   y=x   y=x^1/2
從圖象能得出他們的性質(zhì)嗎？
幾個(gè)冪函數(shù)的性質(zhì)：
        定義域   值域  奇偶性   單調(diào)性      公共點(diǎn)
 y=x      R       R    奇函數(shù)   增函數(shù)  （0,0）（1,1）
y=x²      R     y≥0   偶函數(shù)           （0,0）（1,1）
y=x³      R       R    奇函數(shù)   增函數(shù)  （0,0）（1,1）
y=x^1/2   x≥0   y≥0   非奇非偶  增函數(shù)  （0,0）（1,1）
 y=x^-1   x≠0   y≠0   奇函數(shù)               （1,1）
冪函數(shù)的性質(zhì)：
冪函數(shù)的定義域、奇偶性、單調(diào)性，因函數(shù)式中k的不同而各異。
1、所有的冪函數(shù)在（0，+∞）都有定義，并且函數(shù)圖象都通過(guò)（1,1）；
2、如果k＞0，則冪函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)（0,0）（1,1），并在（0，+∞）上為增函數(shù)；
3、如果k＜0，則冪函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)（1,1），并在（0，+∞）上為減函數(shù)。
練習(xí)
1、求下列冪函數(shù)的定義域：
（1）y=x^2/5         （2）y=x
（3）y=x^3/4         （4）y=x²
2、已知冪函數(shù)y=f（x）的圖象過(guò)點(diǎn)（2,√2），試求出這個(gè)函數(shù)的解析式。
3、如果函數(shù)f（x）=（m²-m-1）x^m2-2m-3是冪函數(shù)，且在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)是減函數(shù)，求滿足條件的實(shí)數(shù)m的集合。
例2：證明冪函數(shù)f（x）=√x在（0，+∞）上是增函數(shù)。
思考：已知冪函數(shù)y=f（x）的圖象過(guò)點(diǎn)（2,√2/2），試求出此函數(shù)的解析式，并判斷奇偶性、單調(diào)性。
例3：利用單調(diào)性判斷下列各值的大小。
（1）5.2^0.8與5.3^0.8
（2）0.2^0.3與0.3^0.3
（3）2.5^-2/5與2.7^-2/5
（4）（-√2/2）^2/3、（-10/7）^2/3、1.1^4/3
練習(xí)
（1）1.3^0.5_____1.5^0.5
（2）5.1^-2_____5.09^-2
（3）-1.79^1/4_____-1.81^1/4
（4）（2+a2）^-2/3_____2^-2/3