課程內容

《用二分法求方程的近似解》
學生活動：
問題1：能否求解以下幾個方程
（1）x²-2x-1=0
（2）2x=4-x
（3）x³+3x-1=0
（4）lgx=3-x
指出：用配方法可求得方程x²-2x-1=0的解，但此法不能運用于解另外的方程。
問題2：不解方程，如何求方程x2-2x-1=0的一個正的近似解（精確到0.1）？
畫出y=x²-2x-1的圖象。
可得：方程x²-2x-1=0一個根x₁在區(qū)間（2,3）內，另一個根x₂在區(qū)間（-1,0）內。
由此可知：借助函數(shù)f（x）=x²-2x-1的圖象及其單調性，我們發(fā)現(xiàn)f（2）=-1＜0，f（3）=2＞0，這表明此函數(shù)圖象在區(qū)間（2,3）上穿過x軸一次，可得出方程在區(qū)間（2,3）上有唯一解。
問題3：能否描述二分法？
    對于在區(qū)間[a,b]上連續(xù)不斷，且f（a）f（b）＜0的函數(shù)y=f（x），通過不斷地把函數(shù)f（x）的零點所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩端點逐步逼近零點，進而得到零點（或對應方程的根）近似解的方法叫做二分法。
問題4：二分法實質是什么？
    用二分法求方程的近似解，實質上就是通過“取中點”的方法，運用“逼近思想逐步縮小零點所在的區(qū)間”。
例1：借助電子計算器或計算機用二分法求方程2^x+3x=7的近似解（精確到0.1）。
探究：
為什么由|a-b|＜ε，便可判斷零點的近似值為a（或b）？
總結：
1、利用（1）圖像法；（2）函數(shù)狀態(tài)法，尋找確定近似解所在的區(qū)間[a,b]，驗證f（a）·f（b）＜0；
2、不斷二分解所在的區(qū)間，即取區(qū)間（a,b）的中點x1=（a+b）/2
3、計算f（x₁）：
   ①若f（x₁）=0，則x₀=x₁
   ②若f（a）·f（x₁）＜0，則令b=x₁（此時x0∈（a,x₁））
   ③若f（b）·f（x₁）＜0，則令a=x₁（此時x0∈（x₁,b））
4、判斷是否達到給定的精確度，若達到，則得出近似解；若未達到，則重復步驟2-4。
練習：
下列函數(shù)的圖像與x軸均有交點，其中不能用二分法求其零點的是（   ）

課堂小結
1、明確二分法是一種求一元方程近似解的常用方法。
2、二分法求方程的近似解的步驟，以及計算機（器）的使用，讓我們感受到程序化的方法即算法的價值。
3、嘗試對二分法進行編程，通過計算機來求方程的近似解。