課程內容

《函數的奇偶性》
1.觀察下面兩組圖形，它們是否也有對稱性呢？
(1)
 
(2)

二、嘗試探求
對于函數f(x)=x²，有f(-1)=(-1)²=1 f(1)=1 f(-1)=f(1) f(-2)=(-2)²=4 f(2)=4
f(-2)=f(2) f(-x)=(-x)²=x²
f(-x)=f(x)
結論：當自變量x認取定義域中的一對相反數時，對應的函數值相等，即f(-x)=f(x)
請你嘗試給“偶函數”下一個定義：
如果對于函數f(x)定義域內的任意一個x。都有f(x)=f(x)，那么函數f(x)就叫偶函數。
對于函數f(x)=x³，有f(-1)=(-1)³=1 f(1)=1 f(-1)=-f(1)
f(-2)=(-2)³=8 f(2)=8
f(-2)=f(2)
f(-x)=(-x)³=-x³
f(-x)=-f(x)
結論:當自變量任取定義域中的兩個相反數時，對應的函數值也互為相反數，即f(-x)=-f(x)

三、補充說明
(1)定義域關于原點對稱式函數是奇、偶函數的先決條件。
(2)如果一個函數f(x)是奇函數或偶函數，那么我們就是說函數f(x)具有奇偶數。奇偶性是函數在整個定義域上的性質。
(3)若函數f(x)為奇函數，則f(-x)=-f(x)成立。
   若函數f(x)為偶函數，則f(-x)=f(x)成立。
(4)奇函數的圖象關于原點對稱。
   偶函數的圖像關于y軸對稱。
四、典例剖析
例1 判斷下列函數的奇偶性
(1)f(x)=x+1/x
解：定義域是{x/x≠0}
∵f(-x)=-x-1/x=-(x+1/x)
即f(-x)=-f(x)
∴f(x)為奇偶數
(2)f(x)=1/x²+1
解：定義域是R
∵f(-x)=1/(-x)²+1=1/x²+1
即f(-x)=f(x)
∴f(x)為偶函數
(3)f(x)=√ x
解：定義域為[0.+x]
∵定義域不關于原點對稱
∴f(x)為非奇非偶函數
(4)f(x)=2x+1
解：函數的定義域為R 但是f(-x)=2(-x)+1=-2x+1
∴f(-x)≠-f(x)且f(-x)≠f(x)
∴f(x)為非奇非偶函數
(5)f(x)=0
解：定義域為R
∵f(-x)=f(x)=0 又 f(-x)=-f(x)=-0=0
∴f(x)為既奇又偶函數
(6)f(x)=√1-x²/2-|x+2|
解：由1-x²≥0    -1≤x≤1
    |x+2|≠0   得x≠0且x≠4即-1≤x≤1且x≠0
∴定義域為[-1,0)U（0,1]
∴f(x)=√1-x²/2-(x+2)=√1-x²/x
∴f(-x)=-√1-(-x)²/-x=-√1-x²/x
五、歸納總結
1.根據奇偶性，函數可分為四類：
奇函數
偶函數
既奇又偶函數
非奇非偶函數
2.用定義判斷函數奇偶性的步驟：
(1)先求出定義域，看定義域是否關于原點對稱；
(2)再判斷f(-x)或f(-x)=f(x)是否成立。
例2：已知函數f(x)是奇函數，當x＞0時，f(x)=x(1+x)，求x＜0時f(x)的表達式。
例3：已知f(x)為偶函數且在（0，+∞）上是減函數，試判斷f(x)在（-∞，0）上是增函數還是減函數？并證明你的判斷。